\documentclass{article}

\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{enumerate}


\makeindex
\frenchspacing


\newcommand{\df}[1]{\textsf{#1}\index{#1|textbf}}
\newcommand{\ddf}[2]{\textsf{#1}\index{#2|textbf}}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem*{thm}{T\'etel}
\newtheorem*{prop}{\'All\'it\'as}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defn}{Defin\'ici\'o}
\newtheorem*{notation}{Jel\"ol\'es}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{cor}{K\"ovetkezm\'eny}
\newtheorem*{rem}{Megjegyz\'es}


\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\s}{$\sigma$}
\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}
\DeclareMathOperator{\Eig}{Eig}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\Ran}{Ran}
\DeclareMathOperator{\Sharp}{Sharp}
\DeclareMathOperator{\Sp}{Sp}
\DeclareMathOperator{\Supp}{supp}


\begin{document}

A fizika a vil\'ag \emph{esem\'eny}einek egym\'ashoz val\'o viszony\'at vizsg\'alja.
Ehhez sz\"uks\'eg van valamilyen matematikai strukt\'ur\'ara, aminek fogalmai
megfeleltethet\H ok az esem\'enynek, valamint a k\"ozt\"uk fenn\'all\'o
kapcsolatoknak. Ha van egy ilyen alkalmasnak t\H un\H o strukt\'ur\'ank, akkor
annak keretein bel\"ul \'all\'it\'asokat vezethet\"unk le, amiket v\'eg\"ul
a tapasztalattal \"osszevetve d\"onthet\"unk a modell alkalmazhat\'os\'ag\'ar\'ol.
El\H osz\"or teh\'at foglaljuk \"ossze az esem\'enyekkel kapcsolatos ismereteket.

Elemi tapasztalat, hogy vannak olyan esem\'enyp\'arok, amelyek egyik tagja
\emph{maga ut\'an vonja} a m\'asikat. Matematikailag ez azt jelenti, hogy
az esem\'enyek halmaz\'an van egy rel\'aci\'o. Vil\'agos, hogy ahhoz, hogy ez
a rel\'aci\'o rendelkezzen az implik\'aci\'o j\'ol ismert tulajdons\'agaival,
sz\"uks\'eges, hogy antiszimmetrikus, reflex\'iv \'es tranzit\'iv, azaz
r\'eszbenrendez\'es legyen.

Ez azonban nem el\'eg, azt szeretn\'enk, hogy k\'et esem\'eny \emph{egy\"uttes
bek\"ovetkez\'es}e is esem\'eny legyen, valamint az is, hogy k\'et esem\'eny
k\"oz\"ul \emph{legal\'abb az egyik bek\"ovetkezik}. A rel\'aci\'onkra n\'ezve
ez azt a felt\'etelt adja, hogy b\'armely k\'et esem\'enyhez tal\'alunk olyan
esem\'enyt, ami mindkett\H on\'el kisebb-egyenl\H o, \'es minden ilyen
tulajdons\'ag\'u esem\'enyn\'el nagyobb-egyenl\H o, \'es egy olyan tov\'abbi
esem\'enyt, ami mindkett\H on\'el nagyobb-egyenl\H o, \'es minden ilyen
tulajdons\'ag\'u ese\-m\'enyn\'el kisebb-egyenl\H o. A k\'es\H obbiekben az
esem\'enyekhez val\'osz\'in\H us\'eget fogunk rendelni, ez\'ert j\'o, ha
nemcsak k\'et, hanem megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen esem\'enyhez is
mindig tal\'alunk legkisebb fels\H o \'es legnagyobb als\'o korl\'atot.

Van \emph{biztos esem\'eny} \'es \emph{lehetetlen esem\'eny}, teh\'at az
esem\'enyek halmaz\'an l\'etezik maxim\'alis \'es minim\'alis elem.

Minden esem\'enyhez l\'etezik \emph{ellentett esem\'eny} azzal a tulajdons\'aggal,
hogy b\'armely esem\'eny \'es az ellentettje k\"oz\"ul pontosan az egyik
k\"ovetkezik be. Az ellentett ellentettje az eredeti esem\'eny, \'es ha egy
esem\'eny bek\"ovetkez\'ese maga ut\'an vonja egy m\'asik\'et, akkor az ut\'obbi
ellentettje az el\H obbi ellentettj\'et vonja maga ut\'an. Modell\"unkben teh\'at
az esem\'enyek halmaz\'an van egy kit\"untetett invol\'uci\'o, ami megford\'itja
a rendez\'est.

A felsorolt tulajdons\'agok nem ig\'enyelnek sok magyar\'azatot, de nem
elegend\H oek. K\'es\H obb l\'atni fogjuk, hogy sz\"uks\'eg van egy tov\'abbi
k\"ovetelm\'enyre is, amelyet ortomodularit\'asnak h\'ivunk. 

\begin{defn}
A $\mathcal{P}$ halmazon \'ertelmezett $\le$ rel\'aci\'o \df{r\'eszbenrendez\'es},
ha $\forall a,b,c\in\mathcal{P}:$
\begin{enumerate}[(1)]
\item $a\le a$
\item $(a\le b$ \'es $a\ge b)\Rightarrow a=b$
\item $(a\le b$ \'es $b\le c)\Rightarrow a\le c$
\end{enumerate}
Ekkor a $(\mathcal{P},\le)$ p\'art \df{r\'eszbenrendezett halmaz}nak mondjuk. Ha
nem okoz f\'el\-re\-\'er\-t\'est, akkor gyakran $(\mathcal{P},\le)$ helyett is csak
$\mathcal{P}$-t \'irunk.
\end{defn}

\begin{defn}
Legyen $\mathcal{P}$ r\'eszbenrendezett halmaz, $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq\mathcal{P}$,
ahol $I$ tetsz\H oleges indexhalmaz.
$\{x_{i}\}_{i\in I}$ elemeinek \df{legkisebb fels\H o korl\'at}ja $x\in\mathcal{P}$, ha
$\forall i\in I:x_{i}\le x$ \'es $\forall y\in\mathcal{P}:(\forall i\in I:x_{i}\le y)\Rightarrow x\le y$.
Hasonl\'oan $\{x_{i}\}_{i\in I}$ elemeinek \df{legnagyobb als\'o korl\'at}ja $x\in\mathcal{P}$, ha
$\forall i\in I:x_{i}\ge x$ \'es $\forall y\in\mathcal{P}:(\forall i\in I:x_{i}\ge y)\Rightarrow x\ge y$.
\end{defn}
\begin{prop}
Legyen $(\mathcal{P},\le)$ r\'eszbenrendezett halmaz, $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq\mathcal{P}$.
Ha l\'etezik, akkor $\{x_{i}\}_{i\in I}$ legkisebb fels\H o (legnagyobb als\'o) korl\'atja
egy\'ertelm\H u.
\end{prop}
\begin{proof}
Legyen $x$ \'es $x'$ az $\{x_{i}\}_{i\in I}$ r\'eszhalmaz legkisebb fels\H o
(legnagyobb als\'o) korl\'atja. Ekkor egyr\'eszt $x\le x'$, m\'asr\'eszt $x\ge x'$
igaz, teh\'at a r\'esz\-ben\-ren\-de\-z\'es (2) tulajdons\'aga szerint $x=x'$.
\end{proof}
\begin{notation}
Legyen $(\mathcal{P},\le)$ r\'eszbenrendezett halmaz, $\{x_{i}\}_{i\in I}\subseteq\mathcal{P}$
tetsz\H oleges r\'esz\-hal\-maza. Ha l\'etezik $\{x_{i}\}_{i\in I}$ legkisebb
fels\H o korl\'atja, azt a k\"ovetkez\H o m\'odon jel\"olj\"uk:
$$
\bigvee_{i\in I} x_{i}
$$
Hasonl\'oan ha l\'etezik $\{x_{i}\}_{i\in I}$ legnagyobb als\'o korl\'atja, akkor azt
$$
\bigwedge_{i\in I} x_{i}
$$
jel\"oli. V\'eges indexhalmazn\'al szok\'asos m\'eg az infix jel\"ol\'es is:
$x_{1}\vee\ldots\vee x_{n}$ ill. $x_{1}\wedge\ldots\wedge x_{n}$.
\end{notation}

\begin{defn}
Az $\cL$ halmaz a $\le$ r\'eszbenrendez\'essel \df{\s-h\'al\'o}, ha
b\'armely meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o r\'eszhalmaz\'anak l\'etezik legkisebb fels\H o
\'es legnagyobb als\'o korl\'atja.
Az $\cL$ \s-h\'al\'o \df{ortokomplementeres \s-h\'al\'o} az $\cL\to\cL:x\mapsto x^{\perp}$
\df{ortokomplement\'aci\'o}val, ha van legkisebb \'es legnagyobb eleme, \'es
$\forall x\in\cL:x\vee x^{\perp}=1$ \'es $x\wedge x^{\perp}=0$, $(x^{\perp})^{\perp}=x$,
\'es $x\le y\Rightarrow y^{\perp}\le x^{\perp}$.
Ha emellett $x\le y\Rightarrow y=x\vee(y\wedge x^{\perp})$, akkor $\cL$
\df{ortomodul\'aris \s-h\'al\'o}.
\end{defn}

L\'athat\'o, hogy ha a legkisebb fels\H o korl\'at \'es a legnagyobb als\'o
korl\'at k\'epz\'ese egym\'asra n\'ezve disztribut\'iv, akkor az
ortokomplementeres h\'al\'o egyben ortomodul\'aris is (ekkor a h\'al\'ot
\ddf{disztribut\'iv ortokomplementeres \s-h\'al\'o}{disztribut\'iv o. \s-h\'al\'o}nak mondjuk). Az
ortomodularit\'asb\'ol azonban nem k\"ovetkezik a disztribut\'iv tulajdons\'ag.

\"Osszefoglalva teh\'at az esem\'enyek halmaza minden esetben valamilyen
ortomodul\'aris \s-h\'al\'o. A tov\'abbiakban ennek alapvet\H o tulajdons\'agait
vizsg\'aljuk.

\begin{defn}
Legyen $\cL$ ortokomplementeres \s-h\'al\'o. $\cL_{0}\subseteq\cL$
\df{r\'esz-or\-to\-komp\-le\-men\-te\-res \s-h\'al\'o} (jel.:$\cL_{0}\le\cL$) ha
$\cL_{0}\neq\emptyset$ \'es
\begin{enumerate}[(1)]
\item $x_{n}\in\cL_{0}\Rightarrow\bigvee_{n}x_{n}\in\cL_{0}$
\item $x_{n}\in\cL_{0}\Rightarrow\bigwedge_{n}x_{n}\in\cL_{0}$
\item $x\in\cL_{0}\Rightarrow x^{\perp}\in\cL_{0}$
\end{enumerate}
\end{defn}
\begin{rem}
(3) teljes\"ul\'ese eset\'en (1) \'es (2) ekvivalens, csak a szimmetria miatt
szerepel mindkett\H o.
\end{rem}
\begin{defn}
Az $\cL$ \'es $\cL'$ ortokomplementeres \s-h\'al\'ok k\"ozti $u:\cL\to\cL'$
f\"uggv\'eny \ddf{ortokomplementeres \s-h\'al\'o-morfizmus}{o. \s-h\'al\'o-morfizmus}, ha a k\"ovetkez\H ok
teljes\"ulnek:
\begin{enumerate}[(1)]
\item $u(\bigvee_{n}x_{n})=\bigvee_{n}u(x_{n})$
\item $u(\bigwedge_{n}x_{n})=\bigwedge_{n}u(x_{n})$
\item $u(x^{\perp})=u(x)^{\perp}$
\end{enumerate}
\end{defn}
\begin{rem}
(3) teljes\"ul\'ese eset\'en (1) \'es (2) ekvivalens, csak a szimmetria
ked\-v\'e\-\'ert szerepel mindkett\H o. A tulajdons\'agokb\'ol az is k\"ovetkezik,
hogy $u$ rendez\'estart\'o.
\end{rem}
\begin{prop}
Ha $u:\cL\to\cL'$ ortokomplementeres \s-h\'al\'o-morfizmus, akkor $\Ran u$
r\'esz-ortokomplementeres \s-h\'al\'o. Ha $\cL$ disztribut\'iv, akkor $\Ran u$
is az.
\end{prop}
\begin{defn}
Legyen $\cL$ ortokomplementeres \s-h\'al\'o, $S\subseteq\cL$. Az $S$ \'altal
\ddf{gener\'alt r\'esz-ortokomplementeres \s-h\'al\'o}{gener\'alt r\'esz-o. \s-h\'al\'o}nak nevezz\"uk az
$S$-et tartalmaz\'o r\'esz-or\-to\-komp\-le\-men\-te\-res \s-h\'al\'ok metszet\'et,
azaz $\{x\in\cL|\forall\cL_{0}\le\cL:(S\subseteq\cL_{0}\Rightarrow x\in\cL_{0})\}$-t.
\end{defn}
\begin{prop}
Legyen $\cL$ \'es $\cL'$ k\'et ortokomplementeres \s-h\'al\'o, $u,v:\cL\to\cL'$
k\'et ortokomplementeres \s-h\'al\'o-morfizmus. Ekkor $\{x\in\cL|u(x)=v(x)\}\le\cL$.
\end{prop}

\begin{defn}
Legyen $\cL$ ortokomplementeres \s-h\'al\'o, $x,y\in\cL$. Azt mondjuk, hogy
$x$ \df{ortogon\'alis} $y$-ra (jel.:$x\perp y$), ha $x\le y^{\perp}$.
\end{defn}
\begin{prop}
Az ortogonalit\'asi rel\'aci\'o szimmetrikus, azaz $x\perp y\iff y\perp x$.
\end{prop}
\begin{proof}
$x\perp y\iff x\le y^{\perp}\iff y\le x^{\perp}\iff y\perp x$
\end{proof}

\begin{notation}
P\'aronk\'ent ortogon\'alis elemek ($\forall n\neq m:x_{n}\perp x_{m}$) legkisebb
fels\H o korl\'atj\'at a k\"ovetkez\H ok\'epp jel\"olj\"uk:
$$
\dot{\bigvee_{n}}x_{n}
$$
\end{notation}
\begin{notation}
$x\le y$ eset\'en bevezetj\"uk a $y\setminus x:=y\wedge x^{\perp}$ jel\"ol\'est.
\end{notation}

\begin{prop}[De Morgan-azonoss\'agok]
Ortokomplementeres \s-h\'al\'oban $\left(\bigvee_{n}x_{n}\right)^{\perp}=\bigwedge_{n}x_{n}^{\perp}$
(\'es $\left(\bigwedge_{n}x_{n}\right)^{\perp}=\bigvee_{n}x_{n}^{\perp}$).
\end{prop}
\begin{proof}
$\forall m:x_{m}\le\bigvee_{n}x_{n}$, ebb\H ol ortokomplement\'aci\'oval
$\forall m:\left(\bigvee_{n}x_{n}\right)^{\perp}\le x_{m}^{\perp}$ majd a
legnagyobb fels\H o korl\'at defin\'ici\'oja alapj\'an
$\left(\bigvee_{n}x_{n}\right)^{\perp}\le\bigwedge_{m} x_{m}^{\perp}$
ad\'odik. A m\'asik ir\'any\'u implik\'aci\'o az\'ert igaz, mert
$x_{n}^{\perp}\ge\bigwedge_{m}x_{m}^{\perp}$ azaz
$x_{n}\le\left(\bigwedge_{m}x_{m}^{\perp}\right)^{\perp}$ alapj\'an
$\bigvee_{n}x_{n}\le\left(\bigwedge_{m}x_{m}^{\perp}\right)^{\perp}$
Ennek ortokomplementuma viszont
$\left(\bigvee_{n}x_{n}\right)^{\perp}\ge\bigwedge_{m}x_{m}^{\perp}$.
\end{proof}

El\H ofordul, hogy az esem\'enyeket nem tudjuk, vagy nem akarjuk teljes
bizonyoss\'aggal el\H orejelezni. Ez a helyzet p\'eld\'aul a statisztikus
fizik\'aban, \'es jelenlegi felfog\'asunk szerint a v\'eletlen l\'enyeges
szerepet j\'atszik a mikrovil\'agban. Emiatt sz\"uks\'eg van arra, hogy
a klasszikus val\'osz\'in\H us\'egelm\'elet fogalmait kiterjessz\"uk a most
t\'argyalt \'altal\'anosabb h\'al\'ok eset\'ere.

A klasszikus val\'osz\'in\H us\'egelm\'eletben az esem\'enyek disztribut\'iv
ortokomplementeres \s-h\'al\'ot alkotnak a halmazelm\'eleti tartalmaz\'assal,
uni\'oval, metszet- \'es komplementerk\'epz\'essel. A val\'osz\'in\H us\'egi
m\'ert\'ek ezen h\'al\'on \'ertelmezett \s-addit\'iv f\"uggv\'eny. A most
k\"ovetkez\H o defin\'ici\'o ezt \'altal\'anos\'itja nem disztribut\'iv
h\'al\'okra.

\begin{defn}
Egy $p:\cL\to[0,1]$ lek\'epez\'es \df{t\"orv\'eny}, ha $p(1)=1$ \'es
$p(\dot{\bigvee}_{n}x_{n})=\sum_{n}p(x_{n})$.
\end{defn}
\begin{prop}
Legyen $\cL$ ortomodul\'aris \s-h\'al\'o, $p:\cL\to[0,1]$ t\"orv\'eny. Ekkor
$x\le y\Rightarrow p(x)\le p(y)$.
\end{prop}
\begin{proof}
Az ortomodularit\'as miatt $y=x\vee(y\wedge x^{\perp})$, amib\H ol
$p(y)=p(x)+p(y\wedge x^{\perp})$, mivel $x\perp(y\wedge x^{\perp})$.
\end{proof}

L\'athat\'o, hogy a bizony\'it\'asban l\'enyegesen kihaszn\'altuk az
ortomodularit\'ast.

A klasszikus val\'osz\'in\H us\'egelm\'eletben j\'ol ismert fogalom az
elemi esem\'eny. Most ennek h\'al\'oelm\'eleti megfelel\H oje \'es hozz\'a
kapcsol\'od\'o fogalmak defin\'ici\'oja k\"ovetkezik.

\begin{defn}
Legyen $\cL$ ortomodul\'aris \s-h\'al\'o.
$a\in\cL$ \df{atom}, ha $x\le a \Rightarrow x=a$ vagy $x=0$.
\end{defn}
\begin{defn}
Legyen $\cL$ ortomodul\'aris \s-h\'al\'o.
$\cL$ \df{atomos}, ha $\forall x\in\cL:\exists a\in\cL$ atom, amire $a\le x$. $\cL$
\df{teljesen atomos}, ha $\forall x\in\cL:x=\bigvee_{i\in I}a_{i}$, ahol
$\{a_{i}\}_{i\in I}$ atomok valamilyen halmaza.
\end{defn}

Az ut\'obbi k\'et fogalom bevezet\'es\'ere a klasszikus val\'osz\'in\H us\'egelm\'eletben
nincs sz\"uks\'eg, az \'altal\'aban el\H ofordul\'o esem\'enyterek teljesen atomosak.

\begin{defn}
Legyen $\cL$ ortomodul\'aris \s-h\'al\'o.
A $p:\cL\to[0,1]$ t\"orv\'eny \df{sz\'o\-r\'as\-men\-tes}, ha $p^{2}=p$, azaz csak
$0$ vagy $1$ \'ert\'ekeket vesz fel.
\end{defn}


\begin{prop}
Legyen az $\cL$ ortomodul\'aris \s-h\'al\'o atomos, disztribut\'iv. Ekkor
l\'etezik olyan $p:\cL\to[0,1]$ t\"orv\'eny, ami sz\'or\'asmentes.
\end{prop}
\begin{proof}
Legyen $a\in\cL$ tetsz\H oleges atom. Ekkor tekinthetj\"uk a k\"ovetkez\H o
t\"orv\'enyt, ami nyilv\'an sz\'or\'asmentes:
$$
p(x):=
\left\{\begin{array}{ll}
1 & a\le x \\
0 & a\nleq x
\end{array}\right.
$$
\end{proof}

\begin{defn}
Legyen $\cL$ ortomodul\'aris \s-h\'al\'o, \'es $(p_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
t\"orv\'enyek. Legyenek tov\'abb\'a $(\lambda_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ olyan
val\'os sz\'amok, hogy $\sum_{n}\lambda_{n}=1$. Ekkor $p=\sum_{n}\lambda_{n}p_{n}$
a t\"orv\'enyek \df{\s-konvex kombin\'aci\'o}ja. $p$ \df{trivi\'alis \s-konvex kombin\'aci\'o},
ha $\exists n\in\mathbb{N}:p=p_{n}$.
\end{defn}
\begin{prop}
T\"orv\'enyek \s-konvex kombin\'aci\'oja t\"orv\'eny.
\end{prop}

\begin{defn}
A $p:\cL\to[0,1]$ t\"orv\'eny \df{sz\'els\H os\'eges}, ha nem \'all el\H o
t\"orv\'enyek nemtrivi\'alis \s-konvex kombin\'aci\'ojak\'ent.
\end{defn}
\begin{prop}
Ha $p:\cL\to[0,1]$ sz\'or\'asmentes t\"orv\'eny, akkor sz\'els\H os\'eges.
\end{prop}
\begin{proof}
Ha $p$ valamely t\"orv\'enyek nemtrivi\'alis \s-konvex kombin\'aci\'ojak\'ent
\'all el\H o, akkor fel\'irhat\'o $p=\lambda_{1}p_{1}+\lambda_{2}p_{2}$ alakban
is, ahol $0\neq\lambda_{1}=1-\lambda_{2}\neq 1$, \'es $p_{1}\neq p_{2}$.
Ha $x\in\cL$ olyan, hogy $p(x)=0$, akkor $0=\lambda_{1}p_{1}(x)+\lambda_{2}p_{2}(x)$,
ami csak $p_{1}(x)=p_{2}(x)=0$ eset\'en lehets\'eges. Hasonl\'oan ha $y\in\cL$
olyan, hogy $p(y)=1$, akkor $1=\lambda_{1}p_{1}(y)+\lambda_{2}p_{2}(y)$ miatt
$p_{1}(y)=p_{2}(y)=1$.
\end{proof}
\begin{prop}
Ha $S$ Hausdorff-t\'er, $p:B(S)\to[0,1]$ t\"orv\'eny, akkor a k\"ovetkez\H ok
ekvivalensek:
\begin{enumerate}[(1)]
\item $p$ sz\'or\'asmentes
\item $p$ sz\'els\H os\'eges
\item $p$ Dirac-m\'ert\'ek
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
A $(3)\Rightarrow(1)$ \'es $(1)\Rightarrow(2)$ k\"ovetkeztet\'eseket l\'attuk,
azt kell m\'eg megmutatni, hogy ha $p$ nem Dirac-m\'ert\'ek, akkor nem
sz\'els\H os\'eges. Legyen $p:B(S)\to[0,1]$ Dirac-m\'ert\'ekt\H ol k\"ul\"onb\"oz\H o
t\"orv\'eny. Ekkor l\'etezik $G\in B(S)$, amire $p(G)\notin\{0,1\}$. Egy ilyen
halmazt r\"ogz\'itve $p_{1},p_{2}:B(S)\to[0,1]$
$$
p_{1}(H)=\frac{p(H\cap G)}{p(G)}
\qquad
\textrm{ill.}
\qquad
p_{2}(H)=\frac{p(H\cap G^{\complement})}{p(G^{\complement})}
$$
k\'et t\"orv\'eny, amikkel $p=\lambda_{1}p_{1}+\lambda_{2}p_{2}$, ahol
$\lambda_{1}=p(G)=1-\lambda_{2}$
\end{proof}

A val\'osz\'in\H us\'egi m\'ert\'ek mellett k\"ozponti fogalom a klasszikus
va\-l\'o\-sz\'i\-n\H u\-s\'eg\-el\-m\'e\-let\-ben a val\'osz\'in\H us\'egi
v\'altoz\'o. Ennek most nem a leg\'altal\'anosabb defin\'ici\'oj\'at tekintj\"uk,
a tov\'abbiakban el\'eg lesz \'ugy tekinteni r\'ajuk, mint az $(S,\mathcal{S})$
m\'erhet\H o t\'err\H ol valamilyen $(T,\mathcal{T})$ topologikus t\'erbe k\'epez\H o
m\'erhet\H o $f$ f\"uggv\'enyekre. C\'el\-sze\-r\H u \'att\'erni $f$-r\H ol a teljes
inverzre, ami rendelkezik az $f^{-1}(\cup_{n}A_{n})=\cup_{n}f^{-1}(A_{n})$ \'es
az $f^{-1}(A^{\complement})=f^{-1}(A)^{\complement}$ tulajdons\'aggal, ami azt
jelenti, hogy $f^{-1}:B(T)\to \mathcal{S}$ ortokomplementeres \s-h\'al\'o
morfizmus $T$ Borel-\s-algebr\'aja \'es $\mathcal{S}$ k\"ozt.

Ebb\H ol kiindulva kapjuk a val\'osz\'in\H us\'egi v\'altoz\'o \'altal\'anosabb
fogalm\'at:

\begin{defn}
Legyen $\cL$ ortomodul\'aris \s-h\'al\'o, $T$ topologikus t\'er. Ekkor egy
$u:B(T)\to\cL$ lek\'epz\'es $B(T)$-\df{mutat\'o}, ha ortokomplementeres
\s-h\'al\'o-morfizmus.
\end{defn}

Eszerint ha $u:B(T)\to\cL$ $B(T)$-mutat\'o, $E\in B(T)$, akkor $u(E)$ azt az
esem\'enyt jelenti, hogy a val\'osz\'in\H us\'egi v\'altoz\'o \'ert\'eke
$E$-ben van.

\begin{defn}
Az $u:B(T)\to\cL$ mutat\'onak $t\in T$ \df{\'eles \'ert\'ek}e, ha $u(\{t\})\neq 0$.
A $\sigma(u):=\{t\in T|\forall G\in\mathcal{T}:t\in G\Rightarrow u(G)\neq 0\}$ halmaz az
$u$ mutat\'o \df{tart\'o}ja.
\end{defn}
\begin{prop}
Ha $u:B(T)\to\cL$ mutat\'o, \'es $t\in T$ $u$ \'eles \'ert\'eke, akkor $t\in\sigma(u)$.
\end{prop}
\begin{proof}
Ha $G$ tetsz\H oleges ny\'ilt halmaz $T$-ben, ami tartalmazza $t$-t, akkor
$u(G)=u(\{t\})+u(G\setminus\{t\})\ge u(\{t\})\neq 0$.
\end{proof}

A val\'osz\'in\H us\'egi v\'altoz\'ok eloszl\'as\'at \'altal\'anos\'itja a
k\"ovetkez\H o defin\'ici\'o:

\begin{defn}
Legyen $\cL$ ortomodul\'aris \s-h\'al\'o, $p:\cL\to[0,1]$ t\"orv\'eny. Az
$u:B(T)\to\cL$ $B(T)$-mutat\'o \df{eloszl\'as}a a $p$ t\"orv\'enyre $p\circ u$.
\end{defn}

\begin{defn}
Legyen $\cL$ ortomodul\'aris \s-h\'al\'o, $p:\cL\to[0,1]$ t\"orv\'eny,
$u:B(\mathbb{R})\to\cL$ val\'os mutat\'o. $u$ \df{m. momentum}a
a $p$ t\"orv\'enyre
$$
\eta^{m}_{p}(u):=\int_{\mathbb{R}}id^{m}_{\mathbb{R}}d(p\circ u)
$$
Az $u$ mutat\'o \df{v\'arhat\'o \'ert\'ek}e $\eta^{1}_{p}(u)$, \df{sz\'or\'as}a
$$
\sigma_{p}(u):=\sqrt{\eta^{2}_{p}(u)-(\eta^{1}_{p}(u))^{2}}
$$
\end{defn}
\begin{prop}
Legyen $\cL$ ortomodul\'aris \s-h\'al\'o, $p:\cL\to[0,1]$ sz\'or\'asmentes
t\"orv\'eny. Ekkor tetsz\H oleges $u:B(\mathbb{R})\to\cL$ val\'os mutat\'o
sz\'or\'asa $0$.
\end{prop}

A klasszikus val\'osz\'in\H us\'egelm\'eletben megszoktuk, hogy ha tekint\"unk
k\'et va\-l\'o\-sz\-\'i\-n\H u\-s\'e\-gi v\'altoz\'ot, $X$-et \'es $Y$-t, akkor azokb\'ol
k\'epezhetj\"uk az $(X,Y)$ p\'art, ami szint\'en val\'osz\'in\H us\'egi v\'altoz\'o.
Az \'altal\'anosabb esetben nem ilyen egyszer\H u a helyzet.

\begin{defn}
Legyen $\cL$ ortomodul\'aris \s-h\'al\'o. Az $u_{i}:B(T_{i})\to\cL$ ($i\in I$)
mutat\'ok \df{kompatibilis}ek, ha l\'etezik olyan $\cL_{0}$ disztribut\'iv
r\'esz-ortomodul\'aris \s-h\'al\'oja $\cL$-nek, amire
$\forall i\in I:\Ran u_{i}\subseteq\cL_{0}$.
\end{defn}
\begin{defn}
Legyen $\cL$ ortomodul\'aris \s-h\'al\'o, $u_{1}:B(T_{1})\to\cL$, $u_{2}:B(T_{2})\to\cL$
k\'et mutat\'o. $u_{1}$ \'es $u_{2}$ \df{egy\"uttes mutat\'o}ja $u:B(T_{1}\times T_{2})\to\cL$,
ha $u\circ pr^{-1}_{1}=u_{1}$ \'es $u\circ pr^{-1}_{2}=u_{2}$.
\end{defn}
\begin{prop}
Ha az $u_{1}:B(T_{1})\to\cL$ \'es $u_{2}:B(T_{2})\to\cL$ mutat\'oknak van
egy\"uttes mutat\'oja, akkor kompatibilisek.
\end{prop}

\begin{defn}
Legyenek $u_{1},u_{2}:B(\mathbb{R})\to\cL$ olyan val\'os mutat\'ok, amelyeknek
$u:B(\mathbb{R}\times\mathbb{R})\to\cL$ egy\"uttes mutat\'oja. Ekkor
$u_{1}\boxplus u_{2}:=u^{-1}\circ {+}^{-1}$ az \df{\"osszeg mutat\'o}, ahol
$+:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ az \"osszead\'as.
\end{defn}

A kvantummechanik\'aban a vizsg\'alt rendszert egy $\mathcal{H}$ Hilbert-t\'errel
\'irjuk le, ebb\H ol sz\'armaztathatjuk az esem\'enyteret. Legyen
$\cL=\mathfrak{M}(\mathcal{H})$ a Hilbert-t\'er z\'art line\'aris altereiek halmaza,
$\le$ jelentse a halmazelm\'eleti tartalmaz\'ast, $x^{\perp}$ pedig az
$x\subseteq\mathcal{H}$ z\'art alt\'er ortogon\'alis kieg\'esz\'it\H oj\'et.
Ezzel egy ortomodul\'aris \s-h\'al\'ot nyer\"unk, amely \'altal\'aban nem
disztribut\'iv. K\"onnyen l\'athat\'o, hogy $x,y\in\mathcal{L}$ eset\'en
$x\vee y=\overline{x+y}$ (z\'art line\'aris burok), \'es $x\wedge y=x\cap y$.
A maxim\'alis elem $\mathcal{H}$, a minim\'alis a csak a $0$-t tartalmaz\'o alt\'er.

A z\'art line\'aris alterek \'es a Hilbert-t\'er projektorai k\"ozt megl\'ev\H o
bijekci\'ot felhaszn\'alva \'atterhet\"unk a projektorokkal val\'o le\'ir\'asra
is. $x\in\cH$,$M\in\cL$ eset\'en ugyanis egy\'ertelm\H uen l\'etezik
az $x=x_{M}+x_{M^{\perp}}$ felbont\'asa $x$-nek $M$-beli \'es $M$-re ortogon\'alis
komponensekre, \'igy tekinhetj\"uk a $P_{M}:\cH\to\cH\quad x\mapsto x_{M}$
lek\'epz\'est, amely nyilv\'an line\'aris \'es $P_{M}=P_{M}^{2}=P_{M}^{*}$.
Visszafel\'e: ha a $P$ line\'aris lek\'epz\'esre $P=P^{2}=P^{*}$, akkor $P$
ortogon\'alisan vet\'it $\Ran P$-re.

Ezzel a bijekci\'oval az alterekr\H ol a h\'al\'ostrukt\'ur\'at \'atvihetj\"uk
a projektorokra: ha $P,Q$ a $\cH$ Hilbert-t\'er k\'et projektora, akkor
$P\le Q$ azt jelenti, hogy $\Ran P\subseteq\Ran Q$, $P\vee Q$ a $\overline{\Ran P+\Ran Q}$
, $P\wedge Q$ a $\Ran P\cap\Ran Q$, $P^{\perp}$ pedig a $(\Ran P)^{\perp}$
alt\'er projektora. A maxim\'alis elem $id_{\mathcal{H}}$, a minim\'alis $0$.
Az \'igy kapott h\'al\'ot a tov\'abbiakban $Pr(\cH)$ jel\"oli.

Most a projektorh\'al\'o m\H uveleteinek az oper\'atorok halmaz\'anak algebrai
\'es topologikus tulajdons\'agaival val\'o kapcsolat\'at vizsg\'aljuk.
Fontos t\'eny, hogy a projektorok ezen r\'eszbenrendez\'ese egybeesik az
\"onadjung\'alt oper\'atorok szok\'asos r\'eszbenrendez\'es\'evel:

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $P,Q\in Pr(\cH)$. Ekkor $P\le Q$ pontosan akkor
teljes\"ul, ha $Q-P$ pozit\'iv.
\end{prop}
\begin{proof}
Ha $\Ran P\subseteq\Ran Q$, akkor b\'armely $x\in\cH$ vektorra
$\langle x,Px\rangle=\langle x,PQx\rangle=\|PQx\|^{2}\le\|P\|^{2}\|Qx\|^{2}\le\|Qx\|^{2}=\langle x,Qx\rangle$.
Megford\'itva, ha minden $x\in\cH$ vektorra $\langle x,Px\rangle\le\langle x,Qx\rangle$,
akkor speci\'alisan $x\in\Ran P$ eset\'en $\|x\|^{2}\le\|Qx\|^{2}\le\|Q\|^{2}\|x\|^{2}$,
amib\H ol $Qx=x$ k\"ovetkezik.
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $P,Q\in Pr(\cH)$. Ekkor $P\le Q\iff PQ=QP=P$
\end{prop}
\begin{proof}
Ha $P\le Q$, azaz $\Ran P\subseteq\Ran Q$, akkor $\forall x\in\cH:QPx=Px$,
amib\H ol $QP=P$, ennek az egyenl\H os\'egnek az adjung\'altja pedig $PQ=P$.
Ha viszont $PQ=QP=P$, akkor $\forall x\in\cH:QPx=Px$, vagyis $Px\in\Ran Q$.
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $(P_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ $Pr(\cH)$-beli sorozat,
amire $\forall n\in\mathbb{N}:P_{n}\le P_{n+1}$. Ekkor l\'etezik $(s)\lim_{n} P_{n}$,
\'es ez \'eppen $\overline{\bigcup_{n}\Ran P_{n}}$ projektora.
\end{prop}
\begin{proof}
Mivel a sorozat \"onadjung\'alt elemekb\H ol \'all, monoton n\H o, \'es korl\'atos
(minden eleme kisebb $id_{\cH}$-n\'al), l\'etezik er\H os limesze. Ha $x\in\bigcup_{n}\Ran P_{n}$,
akkor $\exists m\in\mathbb{N}:P_{m}x=x$. Egy ilyen $m$-et r\"ogz\'itve $n\ge m$ eset\'en
$P_{n}P_{m}=P_{m}$ miatt $P_{n}x=x$, eszerint $\lim_{n}(P_{n}x)=x$. Ha viszont
$x\perp\bigcup_{n}\Ran P_{n}$, akkor $\forall n\in\mathbb{N}:P_{n}x=0$.
$(s)\lim_{n} P_{n}$ teh\'at $\bigcup_{n}\Ran P_{n}$-en identit\'as, ennek
ortogon\'alis\'an $0$, a folytonoss\'aga miatt teh\'at csak $\overline{\bigcup_{n}\Ran P_{n}}$
projektora lehet.
\end{proof}                            
\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $(P_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ $Pr(\cH)$-beli sorozat,
amire $\forall n\in\mathbb{N}:P_{n}\ge P_{n+1}$. Ekkor l\'etezik $(s)\lim_{n} P_{n}$,
\'es \'eppen $\bigcap_{n}\Ran P_{n}$ projektora.
\end{prop}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $P\in Pr(\cH)$. Ekkor $P^{\perp}=id_{\cH}-P$.
\end{prop}
\begin{proof}
Ha $x\in\Ran P$, akkor $x\perp\Ran P^{\perp}$, teh\'at $P^{\perp}x=0$, \'es
ekkor $(id_{\cH}-P)x=x-x=0$. Ha viszont $x\perp\Ran P$, akkor $x\in\Ran P^{\perp}$
\'es $(id_{\cH}-P)x=x-0=x$.
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $P,Q\in Pr(\cH)$ felcser\'elhet\H o projektorok.
Ekkor $P\wedge Q=PQ$ \'es $P\vee Q=P+Q-PQ$
\end{prop}
\begin{proof}
$PQ$ projektor, hiszen $(PQ)^{2}=PQPQ=P^{2}Q^{2}=PQ$ \'es $(PQ)^{*}=Q^{*}P^{*}=QP=PQ$.
Nyilv\'an $\Ran PQ=\Ran QP\subseteq\Ran P\cap\Ran Q$, azaz $PQ\le P\wedge Q$.
M\'asr\'eszt $(P\wedge Q)x=x\iff Px=Qx=x\Rightarrow PQx=x$.

Az \'all\'it\'as m\'asodik fel\'enek bizony\'it\'as\'ahoz a De Morgan-azonoss\'agot
hasz\-n\'al\-juk fel:
$P\vee Q=(P^{\perp}\wedge Q^{\perp})^{\perp}=id_{\cH}-((id_{\cH}-P)\wedge(id_{\cH}-Q))=id_{\cH}-(id_{\cH}-P-Q+PQ)=P+Q-PQ$.
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $P,Q\in Pr(\cH)$ olyanok, hogy $P\le Q$. Ekkor
$Q\setminus P=Q-P$.
\end{prop}
\begin{proof}
$P$ \'es $Q$ ekkor felcser\'elhet\H ok, \'igy az el\H oz\H o \'all\'it\'asok
szerint $Q\wedge P^{\perp}=Q(id_{\cH}-P)=Q-QP=Q-P$.
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $P,Q\in Pr(\cH)$. Ekkor $P\perp Q\iff PQ=QP=0$.
\end{prop}
\begin{proof}
$P\perp Q\iff P\le Q^{\perp}\iff\Ran P\subseteq (\Ran Q)^{\perp}=\Ker Q\iff QP=0\iff PQ=0$.
\end{proof}

Az ut\'obbi \'all\'it\'asb\'ol speci\'alisan $P\dot{\vee}Q=P+Q$ ad\'odik. A k\'et
felcser\'elhet\H o projektor legnagyobb als\'o, \'es k\'et ortogon\'alis projektor
legkisebb fels\H o korl\'atj\'ara kapott formul\'ak \'altal\'anos\'ithat\'ok
megsz\'aml\'alhat\'oan sok projektor eset\'ere is.

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $(P_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ $Pr(\cH)$-ban halad\'o
sorozat, amelynek tagjai felcser\'elhet\H ok. Ekkor $\bigwedge_{n}P_{n}=(s)\prod_{n}P_{n}\equiv(s)\lim_{n}\prod_{k=1}^{n}P_{k}$
\end{prop}
\begin{proof}
$Q_{n}=\prod_{k=1}^{n}P_{k}$ cs\"okken\H o projektorsorozat, er\H os limesze
$\cap_{n}\Ran P_{n}$ projektora.
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $(P_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ $Pr(\cH)$-ban halad\'o
sorozat, amelynek tagjai egym\'asra ortogon\'alisak. Ekkor
$\dot{\bigvee}_{n}P_{n}=(s)\sum_{n}P_{n}\equiv(s)\lim_{n}\sum_{k=1}^{n}P_{k}$.
\end{prop}
\begin{proof}
$Q_{n}=\sum_{k=1}^{n}P_{k}$ n\"ov\H o projektorsorozat, er\H os limesze
$\overline{\cup_{n}\Ran P_{n}}$ projektora.
\end{proof}

K\'et tetsz\H oleges projektor eset\'en valamivel bonyolultabb a helyzet, ilyenkor
a k\"ovetkez\H o formul\'ak mindegyike megadja a legnagyobb als\'o korl\'atot:
$$
P\wedge Q=(s)\lim_{n}(PQP)^{n}=(s)\lim_{n}(QPQ)^{n}=(s)\lim_{n}(PQ)^{n}=(s)\lim_{n}(QP)^{n}
$$
Ezt nem bizony\'itjuk, a tov\'abbiakban nem lesz erre sz\"uks\'eg.

A k\"ovetkez\H okben projektorh\'al\'okba k\'epz\H o mutat\'okkal foglalkozunk.
Els\H ok\'ent projektorh\'al\'ok disztribut\'iv r\'eszobjektumait jellemezz\"uk.

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $Pr(\cH)$ a projektorh\'al\'oja. Ekkor $\cL\le Pr(\cH)$
pontosan akkor disztribut\'iv, ha elemei felcser\'elhet\H ok egym\'assal.
\end{prop}
\begin{proof}
Ha $\cL$ disztribut\'iv, $P,Q\in\cL$, akkor
$P\wedge(P\wedge Q)^{\perp}=P\wedge(P^{\perp}\vee Q^{\perp})=(P\wedge P^{\perp})\vee(P\wedge Q^{\perp})=P\wedge Q^{\perp}\le Q^{\perp}$.
$P\wedge Q\le P$ miatt $P\wedge Q$ felcser\'elhet\H o $P$-vel, eszerint $P\wedge(P\wedge Q)^{\perp}=P-P(P\wedge Q)=P-P\wedge Q$.
A fenti egyenl\H otlens\'eg miatt azonban ezt b\'armelyik oldalr\'ol $Q$-val szorozva $0$-t kapunk, azaz
$PQ-P\wedge Q=0=QP-P\wedge Q$, amib\H ol $PQ=QP$ ad\'odik.

Ha $\cL$ kommutat\'iv, $P,Q,R\in\cL$, akkor
$(P\vee Q)\wedge R=(P+Q-PQ)R=PR+QR-PQR$, \'es ugyanezt kapjuk a disztribut\'iv
tulajdons\'ag szerint kifejtve is: $(P\wedge R)\vee(Q\wedge R)=PR+QR-PRQR=PR+QR-PQR$.
\end{proof}

Ha $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$ mutat\'o,
akkor $\Ran P$ disztribut\'iv r\'esz-ortomodul\'aris \s-h\'al\'o $Pr(\cH)$-ban,
teh\'at a fentiek szerint $E,F\in B(T)$ eset\'en $P(E\cap F)=P(E)P(F)$ \'es
$(E_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ ($\forall n\in\mathbb{N}:E_{n}\in B(T)$) diszjunkt
halmazokra $P(\dot{\bigcup}_{n}E_{n})=(s)\sum_{n}P(E_{n})$, valamint nyilv\'an
$P(T)=id_{\cH}$. Az ilyen lek\'epez\'eseket projektorm\'ert\'eknek h\'ivjuk.

\begin{defn}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er. A $P:B(T)\to Pr(\cH)$
lek\'epez\'es \df{projektorm\'ert\'ek}, ha
\begin{enumerate}[(1)]
\item $\forall E,F\in B(T):P(E\cap F)=P(E)P(F)$
\item $(\forall n\in\mathbb{N}:E_{n}\in B(T))\Rightarrow P(\dot{\bigcup}_{n}E_{n})=(s)\sum_{n}P(E_{n})$
\item $P(T)=id_{\cH}$
\end{enumerate}
teljes\"ul.
\end{defn}

Ha vesz\"unk a $\cH$ Hilbert-t\'erben k\'et vektort, $x$-t \'es $y$-t, akkor
egy $P:B(T)\to Pr(\cH)$ projektorm\'ert\'ekhez megadhatunk egy $x$-t\H ol
\'es $y$-t\'ol f\"ugg\H o komplex m\'er\-t\'e\-ket a
$\mu_{x,y}:B(T)\to\mathbb{C}\quad E\mapsto\langle x,P(E)y\rangle$
k\'eplettel. Azt, hogy \'igy val\'oban m\'ert\'ekhez jutunk, a
\begin{eqnarray*}
\mu_{x,y}\left(\dot{\bigcup_{n}}E_{n}\right)
  & = & \langle x,\left((s)\sum_{n}P(E_{n})\right)y\rangle=\langle x,\sum_{n}(P(E_{n})y)\rangle \\
  & = & \sum_{n}\langle x,P(E_{n})y\rangle=\sum_{n}\mu_{x,y}(E_{n})
\end{eqnarray*}
egyenl\H os\'eg mutatja.

Speci\'alisan $x\in\cH$ eset\'en $\mu_{x,x}:B(T)\to\mathbb{R}^{+}\cup\{0\}$
k\"oz\"ons\'eges (nemnegat\'iv) m\'ert\'ek.

R\"oviden \"osszefoglaljuk a komplex m\'ert\'ekekkel kapcsolatos tudnival\'okat.

\begin{defn}
Egy $\mu:B(T)\to\mathbb{C}$ komplex m\'ert\'ek \df{teljes vari\'aci\'o}ja a
$$|\mu|:B(T)\to\mathbb{C}\quad E\mapsto\sup\left\{\sum_{k=1}^{n}|\mu(E_{k})|\Big|E=\bigcup_{k=1}^{n}E_{k},E_{l}\cap E_{m}=\emptyset\quad(l\neq m)\right\}$$
f\"uggv\'eny.
\end{defn}
\begin{prop}
Ha $\mu:B(T)\to\mathbb{C}$ komplex m\'ert\'ek, akkor $|\mu|$ is m\'ert\'ek.
\end{prop}
\begin{prop}
Ha $\mu:B(T)\to\mathbb{C}$ komplex m\'ert\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o,
akkor $f$ pontosan akkor $\mu$-integr\'alhat\'o, ha $|f|$ integr\'alhat\'o $|\mu|$
szerint, \'es ekkor $|\int_{T}f d\mu|\le\int_{T}|f|d|\mu|$
\end{prop}
\begin{defn}
Legyen $\mu:B(T)\to\mathbb{C}$ komplex m\'ert\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o
f\"uggv\'eny, $E\in B(T)$. $f$ integr\'alhat\'o $E$-n, ha l\'etezik
$\int_{E}f d\mu:=\int_{T}f1_{E}d\mu$.
\end{defn}
\begin{notation}
Legyen $\mu:B(T)\to\mathbb{C}$ komplex m\'ert\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$
$\mu$-integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny. Ekkor az $f\mu:B(T)\to\mathbb{C}$
jel\"oli a $E\mapsto\int_{E}f d\mu$ komplex m\'ert\'eket.
\end{notation}
\begin{prop}
Legyen $\mu:B(T)\to\mathbb{C}$ komplex m\'ert\'ek, $g:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o,
$f:T\to\mathbb{C}$ $\mu$-integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny. Ekkor $g$ pontosan akkor
integr\'alhat\'o $f\mu$ szerint, ha $gf$ integr\'alhat\'o $\mu$ szerint \'es
$\int_{T}g d(f\mu)=\int_{T}gf d\mu$.
\end{prop}

A fent bevezetett $\mu_{x,y}$ n\'eh\'any egyszer\H u tulajdons\'aga
k\"ozvetlen\"ul ad\'odik a projektorm\'ert\'ek defin\'ici\'oj\'ab\'ol \'es a
fenti \'all\'it\'asokb\'ol. R\"ogz\'itve egy $\cH$ Hilbert-teret \'es egy
$P:B(T)\to Pr(\cH)$ projektorm\'ert\'eket tetsz\H oleges $x,y\in\cH$,$E,F\in B(T)$
eset\'en igazak a k\"ovetkez\H ok:
\begin{enumerate}[(1)]
\item $\mu_{x,y}=\mu_{y,x}^{*}$
\item $|\mu_{x,y}(E)|^{2}\le|\mu_{x,x}(E)||\mu_{y,y}(E)|$
\item $1_{F}\mu_{x,y}=\mu_{P(F)x,y}=\mu_{x,P(F)y}=\mu_{P(F)x,P(F)y}$
\item $(1_{F}\mu_{x,y})(E)=\mu_{x,y}(E\cap F)=\langle x,P(E\cap F)y\rangle$
\newline
$=\langle x,P(E)P(F)y\rangle\langle x,P(F)P(E)y\rangle\langle x,P(E)P(F)P(E)y\rangle$
\end{enumerate}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert t\'er, $T$ topologikus t\'er, $x,y\in\cH$, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'er\'ek, $\mu_{x,y}:B(T)\to\mathbb{C}$ $E\mapsto\langle x,P(E)y\rangle$.
Ekkor $|\mu_{x,y}|(E)\le\sqrt{\mu_{x,x}(E)}\sqrt{\mu_{y,y}(E)}$.
\end{prop}
\begin{proof}
A fentiek szerint $|\mu_{x,y}|(E)\le\sqrt{\mu_{x,x}(E)}\sqrt{\mu_{y,y}(E)}$.
Eszerint
$$
\sum_{k=1}^{n}|\mu_{x,y}(E_{k})|\le\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\mu_{x,x}(E_{k})}\sqrt{\mu_{y,y}(E_{k})}\le\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\mu_{x,x}(E_{k})}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\mu_{y,y}(E_{k})}
$$
Ennek jobb oldal\'an a bizony\'itand\'o egyenl\H otlens\'eg jobb oldala szerepel,
$|\mu_{x,y}|(E)$ pedig a bal oldal szupr\'emuma.
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert t\'er, $T$ topologikus t\'er, $x,y\in\cH$, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'er\'ek, $\mu_{x,y}:B(T)\to\mathbb{C}$ $E\mapsto\langle x,P(E)y\rangle$.
Ekkor ha $|g|^{2}$ $\mu_{x,x}$-integr\'alhat\'o \'es $|f|^{2}$
$\mu_{y,y}$-integr\'alhat\'o, akkor $gf$ $\mu_{x,y}$-integr\'alhat\'o, \'es
$$|\int_{T}fg d\mu_{x,y}|\le\int_{T}|fg|d|\mu_{x,y}|\le\sqrt{\int_{T}|g|^{2}d\mu_{x,x}}\sqrt{\int_{T}|f|^{2}d\mu_{y,y}}$$
\end{prop}
\begin{proof}
Tegy\"uk fel el\H osz\"or, hogy $f$, $g$ l\'epcs\H os f\"uggv\'enyek, azaz
valamely $\{E_{k}\}_{k=1}^{n}$ diszjunkt Borel-halmazokkal
$|g|=\sum_{k=1}^{n}a_{k}1_{E_{k}}$ \'es $|f|=\sum_{k=1}^{n}b_{k}1_{E_{k}}$.
Ekkor teh\'at
$|gf|=\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}1_{E_{k}}$, amib\H ol az el\H oz\H o \'all\'it\'ast
felhaszn\'alva
\begin{eqnarray*}
\int_{T}|gf|d|\mu_{x,y}|
 & = & \sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}|\mu_{x,y}|(E_{k}) \\
 & \le & \sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\sqrt{\mu_{x,x}(E_{k})}\sqrt{\mu_{y,y}(E_{k})} \\
 & \le & \sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}\mu_{x,x}(E_{k})}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}\mu_{y,y}(E_{k})}
\end{eqnarray*}

Tetsz\H oleges f\"uggv\'enyek eset\'et monoton n\"ov\H o l\'epcs\H os
f\"uggv\'eny-sorozattal vezethetj\"uk vissza erre.
\end{proof}

Speci\'alisan legyen $g=1$, $|f|^{2}$ $\mu_{y,y}$-integr\'alhat\'o, ekkor az
\'all\'it\'as szerint $\forall x\in\cH:f$ $\mu_{x,y}$-integr\'alhat\'o, \'es
$$
\left|\int_{T}f d\mu_{x,y}\right|\le\|x\|\sqrt{\int_{T}|f|^{2}d\mu_{y,y}}
$$
vagyis a $\cH\ni x\mapsto\int_{T}f d\mu_{x,y}\in\mathbb{C}$ f\"uggv\'eny
folytonos.

\begin{notation}
Legyen $\cH$ Hilbert t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'er\'ek, $\forall x,y\in\cH$ p\'arra $\mu_{x,y}:B(T)\to\mathbb{C}$
$E\mapsto\langle x,P(E)y\rangle$, \'es $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o. Ekkor
$$
D_{P}(f):=\{y\in\cH| |f|^{2} \textrm{ $\mu_{y,y}$-integr\'alhat\'o}\}
$$
azon $y$-ok halmaza, amelyre $|f|^{2}$ $\mu_{y,y}$-integr\'alhat\'o.
\end{notation}
\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'er\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny. Ekkor
$D_{P}(f)\subseteq\cH$ s\H ur\H u line\'aris alt\'er.
\end{prop}
\begin{proof}
A parallelogramma-azonoss\'ag szerint
$\mu_{x+y,x+y}(E)+\mu_{x-y,x-y}(E)=2\mu_{x,x}(E)+2\mu_{y,y}(E)$, emiatt
$0\le\mu_{x+y,x+y}(E)\le 2\mu_{x,x}(E)+2\mu_{y,y}(E)$. Teh\'at ha egy
f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o $\mu_{x,x}$ \'es $\mu_{y,y}$ szerint, akkor
$\mu_{x+y,x+y}$ szerint is, azaz $D_{P}(f)$ val\'oban line\'aris alt\'er.

Tekints\"uk a $E_{n}:=\{t\in T| |f(t)|\le n\}$ ($n\in\mathbb{N}$) halmazsorozatot,
amire nyilv\'an $E_{n}\subseteq E_{n+1}$, $\cup_{n}E_{n}=T$, teh\'at a
projektorm\'ert\'ek tulajdons\'agai szerint
$P(E_{n})\le P(E_{n+1})$ \'es $(s)\lim_{n}P(E_{n})=id_{\cH}$.
Ha most vesz\"unk egy tetsz\H oleges $x\in\cH$ elemet, akkor a $P(E_{n})x$
sorozat $x$-hez konverg\'al \'es $D_{P}(f)$-ben halad, mert
$\mu_{P(E_{n})x,P(E_{n})x}=1_{E_{n}}\mu_{x,x}$, $\mu_{x,x}$ v\'eges m\'ert\'ek,
$f$ pedig korl\'atos $E_{n}$-n, teh\'at $f$ $1_{E_{n}}\mu_{x,x}$-integr\'alhat\'o.
\end{proof}

\begin{defn}
Legyen $\cH$ Hilbert t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'er\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny. Ekkor a
$$\cH\times D_{P}(f)\to\mathbb{C}\quad(x,y)\mapsto\int_{T}f d\mu_{x,y}$$
lek\'epez\'es r\"ogz\'itett $y$ mellett $x$-ben folytonos, konjug\'alt
line\'aris, teh\'at Riesz t\'etele szerint minden $y\in D_{P}(f)$-hez l\'etezik
egy\'ertelm\H u $\hat{P}(f)y\in\cH$ elem, amire
$$\int_{T}f d\mu_{x,y}=\langle x,\hat{P}(f)y\rangle$$
Az $y\mapsto\hat{P}(f)y$ lek\'epez\'es line\'aris, az \'igy \'ertelmezett
$\hat{P}(f):D_{P}(f)\to\cH$ line\'aris oper\'ator az $f$ f\"uggv\'eny $P$
\df{projektorm\'ert\'ek szerinti integr\'al}ja.
\end{defn}

Id\'ezz\"uk fel, mit jelent egy s\H ur\H u alt\'eren \'ertelmezett nem korl\'atos
oper\'ator adjung\'altja.

\begin{defn}
Legyn $\cH$ Hilbert-t\'er, $A:\cH\to\cH$ s\H ur\H un \'ertelmezett line\'aris
oper\'ator. $A^{*}$ az $A$ oper\'ator \df{adjung\'alt}ja, ha
$\Dom A^{*}=\{x\in\cH|y\mapsto\langle x,Ay\rangle\textrm{ folytonos}\}$ \'es
$x\in\Dom A^{*}$ eset\'en $\cH\ni y\mapsto\langle A^{*}x,y\rangle$ a
$\Dom A\ni y\mapsto\langle x,Ay\rangle$ egy\'ertelm\H u kiterjeszt\'ese $\cH$-ra.
\end{defn}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $A,B:\cH\to\cH$ k\'et s\H ur\H u alt\'eren
\'ertelmezett line\'aris oper\'ator, $\alpha\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$.
Ekkor
\begin{enumerate}[(1)]
\item $(A+B)^{*}\supset A^{*}+B^{*}$
\item $(AB)^{*}\supset B^{*}A^{*}$
\item $(A^{*})^{*}\supset A$
\item $(\alpha A)^{*}=\alpha^{*}A^{*}$
\end{enumerate}
\end{prop}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny. Ekkor
ha $y\in D_{P}(f)$, akkor $f\mu_{x,y}=\mu_{x,\hat{P}(f)y}$.
\end{prop}
\begin{proof}
$(f\mu_{x,y})(E)=\int_{T}1_{E}d(f\mu_{x,y})=\int_{T}f d(1_{E}\mu_{x,y})=\langle P(E)x,\hat{P}(E)y\rangle=\mu_{x,\hat{P}(f)y}(E)$
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, $f,g:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'enyek,
$\alpha\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Ekkor
\begin{enumerate}[(1)]
\item $\hat{P}(\alpha f)=\alpha\hat{P}(f)$
\item $\hat{P}(f+g)\supset\hat{P}(f)+\hat{P}(g)$
\item $\hat{P}(fg)\supset\hat{P}(f)\hat{P}(g)$ \'es $\Dom\hat{P}(fg)\cap\Dom\hat{P}(g)=\Dom\hat{P}(f)\hat{P}(g)$
\item $\hat{P}(f^{*})=\hat{P}(f)^{*}$
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}

\begin{enumerate}[(1)]
\item
$|f|^{2}$ pontosan akkor $\mu_{y,y}$-integr\'alhat\'o, ha $\alpha|f|^{2}$
$\mu_{y,y}$-integr\'al\-ha\-t\'o, \'es $\int_{T}\alpha f d\mu_{x,y}=\alpha\int_{T}f d\mu_{x,y}$.
\item
Ha $|f|^{2}$ $\mu_{y,y}$-integr\'alhat\'o, \'es $|g|^{2}$
$\mu_{y,y}$-integr\'alhat\'o, akkor $|f+g|^{2}$ $\mu_{y,y}$-integr\'alhat\'o,
\'es $\int_{T}(f+g)d\mu_{x,y}=\int_{T}f d\mu_{x,y}+\int_{T}g d\mu_{x,y}$.
\item
Ha $|g|^{2}$ $\mu_{y,y}$-integr\'alhat\'o, \'es $|f|^{2}$
$\mu_{\hat{P}(g)y,\hat{P}(g)y}$-integr\'alhat\'o, akkor $|fg|^{2}$
$\mu_{y,y}$-integr\'alhat\'o, mivel az el\H oz\H o \'all\'it\'as szerint
$\mu_{\hat{P}(g)y,\hat{P}(g)y}=|g|^{2}\mu_{y,y}$. Ha viszont $y$ benne van
$Dom\hat{P}(f)\hat{P}(g)$-ben, akkor $\int_{T}(fg)d\mu_{x,y}=\int_{T}f d(g\mu_{x,y})=\langle x,\hat{P}(f)\hat{P}(g)y\rangle$.
\item
$x\in D_{P}(f^{*})=D_{P}(f)$ eset\'en a $\langle x,\cdot\rangle\circ\hat{P}(f)$ lek\'epz\'es folytonos,
$\langle x,\hat{P}(f)y\rangle=\int_{T}f d\mu_{x,y}=\int_{T}d\mu_{\hat{P}(f^{*})x,y}=\langle\hat{P}(f^{*})x,y\rangle$,
teh\'at $\hat{P}(f^{*})\subset\hat{P}(f)^{*}$.
Speci\'alisan ha $f$ korl\'atos, akkor $\hat{P}(f^{*})=\hat{P}(f)^{*}$, mert $\Dom\hat{P}(f^{*})=\cH$.
Legyen $E_{n}:=\{t\in T| |f(t)|\le n\}$. Minden $n\in\mathbb{N}$-re $f1_{E_{n}}$
korl\'atos, \'es
$$P(E_{n})\hat{P}(f^{*})\subset\hat{P}(f^{*}1_{E_{n}})=\hat{P}(f1_{E_{n}})^{*}=(\hat{P}(f)P(E_{n}))^{*}\supset P(E_{n})\hat{P(f)}^{*}$$
$y\in\Dom\hat{P}(f^{*})$ eset\'en pedig $P(E_{n})\hat{P}(f^{*})y=P(E_{n})\hat{P}(f)^{*}y$.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny.
Ekkor $x\in D_{P}(f)$ eset\'en $\|\hat{P}(f)x\|^{2}=\int_{T}|f|^{2}d\mu_{x,x}$.
\end{prop}
\begin{proof}
$\int_{T}|f|^{2}d\mu_{x,x}=\int_{T}d(ff^{*}\mu_{x,x})=\int_{T}d\mu_{\hat{P}(f)x,\hat{P}(f)x}=\mu_{\hat{P}(f)x,\hat{P}(f)x}(T)$
\end{proof}

Speci\'alisan ha $f$ korl\'atos, akkor $\hat{P}(f)$ mindenhol \'ertelmezett,
korl\'atos line\'aris oper\'ator.

Az eddigiekb\H ol azt l\'athatjuk, hogy a $P:B(T)\to Pr(\cH)$ projektorm\'ert\'ek
szerinti integr\'al\'as *-algebra-morfizmus a $T\to\mathbb{C}$ korl\'atos, m\'erhet\H o
f\"uggv\'enyek *-algebr\'aj\'ab\'ol $\mathcal{L}(\cH)$-ba.

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny.
Ekkor $\hat{P}(f)\hat{P}(f^{*})=\hat{P}(f^{*})\hat{P}(f)=\hat{P}(|f|^{2})$.
\end{prop}
\begin{proof}
L\'attuk, hogy $\hat{P}(|f|^{2})\supset\hat{P}(f^{*})\hat{P}(f)$, azt kell m\'eg
bel\'atni, hogy $\Dom\hat{P}(|f|^{2})\cap\Dom\hat{P}(f)=\Dom\hat{P}(|f|^{2})$. Ez
viszont k\"ovetkezik abb\'ol, hogy $\mu_{x,x}$ v\'eges m\'ert\'ek, \'igy
$\{x||f|^{4}\textrm{ $\mu_{x,x}$-integr\'alhat\'o}\}\subset\{x||f|^{2}\textrm{ $\mu_{x,x}$-integr\'alhat\'o}\}$
\end{proof}

\begin{defn}
Az $N:\cH\to\cH$ line\'aris oper\'ator \df{norm\'alis}, ha
\begin{enumerate}[(1)]
\item s\H ur\H u alt\'eren \'ertelmezett
\item z\'art
\item $\Dom N^{*}=\Dom N$
\item $NN^{*}=N^{*}N$
\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{prop}
Ha az $A:\cH\to\cH$ line\'aris oper\'ator a $\cH$ Hilbert-t\'er s\H ur\H u
alter\'en \'ertelmezett, akkor $A^{*}$ z\'art.
\end{prop}
\begin{proof}
Legyen $x\in\cH$, $(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ $\Dom A^{*}$-ban halad\'o sorozat,
amelynek hat\'ar\'ert\'eke $\lim_{n}x_{n}=x$, \'es $z:=\lim_{n}Ax_{n}$.
Ekkor $\forall y\in\Dom A:\langle y,A^{*}x\rangle=\langle Ay,x_{n}\rangle$.
A bal oldal hat\'ar\'ert\'eke $\langle y,z\rangle$ a jobb oldal\'e $\langle Ay,x\rangle$,
teh\'at az adjung\'alt defin\'ici\'oja alapj\'an $x\in\Dom A^{*}$ \'es $A^{*}x=z$.
\end{proof}                        

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek. Ekkor a k\"ovetkez\H ok ekvivalensek:
\begin{enumerate}[(1)]
\item $P(E)=0$
\item $\forall x,y\in\cH:\mu_{x,y}(E)=0$
\item $\forall x\in\cH:\mu_{x,x}(E)=0$
\item $\forall x,y\in\cH:|\mu_{x,y}|(E)=0$
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
Az $(1)\Rightarrow(2)\Rightarrow(3)\Rightarrow(4)$ k\"ovetkeztet\'esek a defin\'ici\'ok
alkalmaz\'as\'aval k\"ozvetlen\"ul ad\'odnak, $(4)\Rightarrow(1)$ bel\'at\'as\'ahoz
azt kell meggondolni, hogy $\forall x,y\in\cH:$
$$
0=|\mu_{x,y}|(E)=\sup\left\{\sum_{k=1}^{n}|\mu_{x,y}(E_{k})|\big|E=\dot{\bigcup_{k}}E_{k}\right\}
$$
miatt $|\mu_{x,y}(E)|=0$, azaz $0=\mu_{x,y}(E)=\langle x,P(E)y\rangle$, teh\'at
$P(E)=0$.
\end{proof}

\begin{defn}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek. $E\in B(T)$ $P$-\df{nullhalmaz}, ha $P(E)=0$.
\end{defn}
\begin{defn}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek. A $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny
$P-$\df{l\'enyeges szupr\'emum}a $\|f|_{P}:=\inf\{\alpha|P\{|f|>\alpha\}=0\}$.
\end{defn}

A k\"ovetkez\H o \'all\'it\'as bizony\'it\'as\'ahoz felhaszn\'aljuk a z\'art
gr\'af-t\'etelt, amelyet eml\'ekeztet\H o\"ul ki is mondunk:
\begin{thm}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $A:\cH\to\cH$ s\H ur\H u alt\'eren \'ertelmezett
line\'aris oper\'ator. Ekkor a k\"ovetkez\H o \'all\'it\'asok k\"oz\"ul b\'armely
kett\H o teljes\"ul\'ese maga ut\'an vonja a harmadikat:
\begin{enumerate}[(1)]
\item $\Dom A$ z\'art
\item $A$ z\'art
\item $A$ folytonos
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny. Ekkor
a k\"ovetkez\H ok ekvivalensek:
\begin{enumerate}[(1)]
\item $\hat{P}(f)$ korl\'atos
\item $\Dom\hat{P}(f)=\cH$
\item $f$ $P$-majdnem minden\"utt korl\'atos.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
L\'attuk az el\H oz\H okeben, hogy $\hat{P}(f)$ z\'art, innen $(1)\iff(2)$
a z\'art gr\'af-t\'etelb\H ol ad\'odik.

Ha $f$ $P$-majdnem minden\"utt korl\'atos, akkor $\|\hat{P}(f)x\|=\int_{T}|f|^{2}\mu_{x,x}$
minden $x\in\cH$-ra \'ertelmes \'es legfeljebb $\|f|_{p}^{2}\|x\|$.

Ha viszont $\hat{P}(f)$ korl\'atos, akkor tekints\"uk minden $\varepsilon>0$
sz\'amhoz az $E_{\varepsilon}:=\{t||f(t)|\ge\|\hat{P}(f)\|+\varepsilon\}$
Borel-halmazt. Erre
\begin{eqnarray*}
(\|\hat{P}(f)\|+\varepsilon)^{2}\mu_{x,x}(E_{\varepsilon})
 & \le & \int_{T}|f1_{E_{\varepsilon}}|^{2}d\mu_{x,x} \\
 & = & \|\hat{P}(f1_{E_{\varepsilon}})x\|^{2} \\
 & = & \|\hat{P}(f)P(E_{\varepsilon})x\|^{2} \\
 & \le & \|\hat{P}(f)\|^{2}\mu_{x,x}(E_{\varepsilon})
\end{eqnarray*}
miatt $\mu_{x,x}(E_{\varepsilon})=0$ igaz minden $x\in\cH$ vektorra, teh\'at $f$
$P$-majdnem minden\"utt korl\'atos.
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny. Ekkor
$\Ker\hat{P}(f)=P(f^{-1}(\{0\}))\cH$
\end{prop}
\begin{proof}
A $0=\hat{P}(f1_{f^{-1}\{0\}})=\hat{P}(f)P(f^{-1}\{0\})\supset P(f^{-1}\{0\})\hat{P}(f)$
tartalmaz\'as miatt $\Ker\hat{P}(f)\supset P(f^{-1}\{0\})$.

Ha viszont $x\in\Ker\hat{P}(f)$, akkor $0=\|\hat{P}(f)x\|^{2}=\int_{T}|f|^{2}d\mu_{x,x}$,
amib\H ol $f=0$ $\mu_{x,x}$-majdnem minden\"utt, azaz $\mu_{x,x}((f^{-1}\{0\})^{\complement})=0$.
Eszerint $\|x-P(f^{-1}\{0\})x\|=0$, teh\'at $x\in\Ran P(f^{-1}\{0\})$
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny.
$\hat{P}(f)$ pontosan akkor injekt\'iv, ha $P(f^{-1}\{0\})=0$, \'es ekkor
$\hat{P}(f)^{-1}=\hat{P}(\frac{1_{0}}{f})$ ahol
$$
\frac{1_{0}}{f}(t)=
\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{f(t)} & f(t)\neq 0 \\
0 & f(t)=0
\end{array}\right.
$$
\end{prop}

\begin{cor}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$ olyan m\'erhet\H o f\"uggv\'eny, hogy
$\hat{P}(f)$ injekt\'iv. Ekkor $\hat{P}(f)$ inverze pontosan akkor folytonos, ha
$\frac{1_{0}}{f}$ $P$-majdnem minden\"utt korl\'atos.
\end{cor}

\begin{defn}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $A:\cH\to\cH$ line\'aris oper\'ator. $\lambda\in\mathbb{C}$
az $A$ \df{saj\'at\'ert\'ek}e, ha $\exists x\in\Dom A\setminus\{0\}:Ax=\lambda x$.
$A$ saj\'at\'ert\'ekeinek halmaza $\Eig(A)$.
\end{defn}
\begin{defn}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $A:\cH\to\cH$ line\'aris oper\'ator. $A$ \df{spektrum}a
a $\mathbb{C}\setminus\{\lambda\in\mathbb{C}|\textrm{$(A-\lambda id_{\cH})$ injekt\'iv, $\Ran(A-\lambda id_{\cH})$ s\H ur\H u, $(A-\lambda id_{\cH})^{-1}$ folytonos}\}$
halmaz, amelyet $\Sp(A)$-val jel\"ol\"unk.
\end{defn}

\begin{defn}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek. $t\in T$ \df{\'eles \'ert\'ek}e $P$-nek, ha $\{t\}\in B(T)$
\'es $P(\{t\})\neq 0$. $P$ \'eles \'ert\'ekeinek halmaz\'at $\Sharp(P)$ jel\"oli.
$\Supp(P):=\{t|\forall G\in\mathcal{T}:(t\in G\Rightarrow P(G)\neq 0)$ $P$ \df{tart\'o}ja.
\end{defn}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny. Ekkor
$\Eig\hat{P}(f)=\Sharp(P\circ f^{-1})$ \'es $\Sp\hat{P}(f)=\Supp(P\circ f^{-1})$.
\end{prop}
\begin{proof}
Mivel $\hat{P}(f)-\lambda id_{\cH}=\hat{P}(f-\lambda)$, ez\'ert
$\Ker\hat{P}(f-\lambda)=\Ran P((f-\lambda)^{-1}\{0\})=\Ran P(f^{-1}\{\lambda\})=\Ran((P\circ f^{-1})\{\lambda\})$.

$\Sp(\hat{P}(f))^{\complement}=\{\lambda|\textrm{$(\hat{P}(f)-\lambda id_{\cH})$ bijekt\'iv, inverze folytonos}\}$.
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, $f,g:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'enyek.
Ekkor $\hat{P}(f)=\hat{P}(f)\iff f=g$ $P$-majdnem minden\"utt.
\end{prop}
\begin{proof}
A vissza ir\'any nyilv\'anval\'o, az oda ir\'any pedig az\'ert igaz, mert tetsz\H oleges
$\Dom\hat{P}(f)$-beli $x$ vektorra $(\hat{P}(f)-\hat{P}(g))x=0$, amib\H ol
$\hat{P}(f)-\hat{P}(g)\subseteq \hat{P}{f-g}$ miatt $\hat{P}^{f-g}=0$, \'igy
$\int_{T}|f-g|^{2}d\mu_{x,x}=0$, azaz $f=g$ $\mu_{x,x}$-majdnem minden\"utt.
\end{proof}

\begin{cor}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny. Ekkor
\begin{enumerate}[(1)]
\item $\hat{P}(f)$ \"onadjung\'alt $\iff$ $f=f^{*}$ $P$-majdnem minden\"utt.
\item $\hat{P}(f)$ unit\'er $\iff$ $f^{*}=f^{-1}$ $P$-majdnem minden\"utt. (vagyis $|f|=1$ $P$-majdnem minden\"utt)
\item $\hat{P}(f)$ projektor $\iff$ $f=f^{*}=f^{2}$ $P$-majdnem minden\"utt. (vagyis $\exists E\in B(T):f=1_{E}$ $P$-majdnem minden\"utt)
\end{enumerate}
\end{cor}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ megsz\'aml\'alhat\'o b\'azis\'u topologikus
t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$ projektorm\'ert\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$ folytonos
komplex \'ert\'ek\H u f\"uggv\'eny. Ekkor $\Sp\hat{P}(f)=\overline{f[\Supp P]}$.
\end{prop}

Ha $P:B(T)\to Pr(\cH)$ projektorm\'ert\'ek, $\Phi:T\to S$ m\'erhet\H o, akkor
nyilv\'an $P\circ\Phi^{-1}:B(S)\to Pr(\cH)$ is projektorm\'ert\'ek. A k\'et
projektorm\'ert\'ek szerinti integr\'al kapcsolat\'ar\'ol sz\'ol a k\"ovetkez\H o
\'all\'it\'as:
\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T,S$ topologikus terek, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, $\Phi:T\to S$ \'es $g:S\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o
f\"uggv\'enyek. Ekkor $\hat{P}(g\circ\Phi)=\widehat{(P\circ\Phi^{-1})}(g)$.
\end{prop}
\begin{proof}
A k\'et oldal \'ertelmez\'esi tartom\'anya $\{x|\textrm{$|g|^{2}$ $\mu_{x,x}^{P\circ\Phi^{-1}}$-integr\'alhat\'o}\}$ \'es
$\{x|\textrm{$|g\circ\Phi|^{2}$ $\mu_{x,x}^{P}$-integr\'alhat\'o}\}$, ezek
$$\int_{S}|g|^{2}d(\mu_{x,x}^{P}\circ\Phi^{-1})=\int_{T}\underbrace{|g|^{2}\circ\Phi}_{|g\circ\Phi|^{2}} d\mu_{x,x}^{P}$$
miatt megegyeznek, ami az\'ert igaz, mert ha $F\in B(S)$, akkor $\mu_{x,x}^{P\circ\Phi^{-1}}(F)=\|P(\Phi^{-1}(F))x\|^{2}=(\mu_{x,x}^{P}\circ\Phi^{-1})(F)$.
$$\langle x,\widehat{P\circ\Phi^{-1}}(g)y\rangle=\int_{S}g\underbrace{d\mu_{x,y}^{P\circ\Phi^{-1}}}_{d(\mu_{x,y}^{P}\circ\Phi^{-1})}$$
\end{proof}

\begin{cor}
Ha $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny, akkor
$\hat{P}(f)=\widehat{(P\circ f^{-1})}(id_{\mathbb{C}})$, azaz minden
projektorm\'ert\'ek szerinti integr\'alk\'ent el\H o\'all\'o oper\'ator
el\H ol\'all\'ithat\'o az identit\'as integr\'aljak\'ent is egy alkalmas
projektorm\'ert\'ek szerint.
\end{cor}

Most a projektorh\'al\'ok k\"ozti homomorfizmusokat vizsg\'aljuk. Bel\'athat\'o,
hogy ha $\cH$ \'es $\cK$ Hilbert-terek, \'es l\'etezik $Pr(\cH)\to Pr(\cK)$
injekt\'iv homomorfizmus, akkor $\dim\cH|\dim\cK$. Speci\'alisan izomorfizmus
l\'etez\'ese eset\'en a k\'et dimenzi\'o megegyezik.

Ha a $\cH$ \'es $\cK$ Hilbert-terek k\"ozt adott egy $U:\cH\to\cK$ unit\'er
($\langle Ux,Uy\rangle_{\cK}=\langle x,y\rangle_{\cH}$) vagy
antiunit\'er ($\langle Ux,Uy\rangle_{\cK}=\langle y,x\rangle_{\cH}$)
line\'aris lek\'epz\'es, akkor az izomorfizmust gener\'al az alt\'erh\'al\'ok
k\"ozt: $\mathfrak{M}(\cH)\to\mathfrak{M}(\cK);M\mapsto U[M]$, hiszen
metszet- \'es ortogonalit\'astart\'o. Ezzel kaptunk a projektorh\'al\'ok k\"ozt
is egy izomorfizmust a $Pr(\cH)\to Pr(\cK); P\mapsto UPU^{-1}$ hozz\'arendel\'essel.
$|\alpha|=1$ eset\'en $\alpha U$ is unit\'er, \'es ugyanazt a h\'al\'o-izomorfizmust
gener\'alja. A k\"ovetkez\H o t\'etel szerint l\'enyeg\'eben minden izomorfizmus
\'igy \'all el\H o:

\begin{thm}[Wigner]
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $\dim\cH\neq 2$. Ekkor minden $Pr(\cH)\to Pr(\cH)$
izomorfizmus $P\mapsto UPU^{-1}$ alak\'u, ahol $U$ unit\'er vagy antiunit\'er.
\end{thm}

K\'et dimenzi\'oban p\'eld\'aul a k\"ovekez\H o m\'odon kaphatunk nem ilyen alak\'u
izomorfizmust: v\'alasszunk ki k\'et ortogon\'alis 1 rang\'u projektort, a lek\'epz\'es
hagyja helyben a t\H ol\"uk k\"ul\"onb\"oz\H o elemeket, ezt a kett\H ot pedig
cser\'elje meg. K\"onny\H u meggondolni, hogy \'igy izomorfizmushoz jutunk, \'es
nem \'all el\H o a fenti alakban (s\H ot, tetsz\H oleges line\'aris oper\'atort
megengedve sem).

A k\"ovetkez\H o \'all\'it\'as arr\'ol sz\'ol, hogy az izomorfizmusok sor\'an
hogyan transzform\'al\'odik a projektorm\'ert\'ek szerinti integr\'al.

\begin{prop}
Legyen $\cH$ \'es $\cK$ Hilbert-t\'er, $U:\cH\to\cK$ unit\'er vagy antiunit\'er,
$T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$ projektorm\'ert\'ek, $f:T\to\mathbb{C}$
m\'erhet\H o f\"uggv\'eny. Ekkor
$$
\widehat{UPU^{-1}}(f)=\left\{\begin{array}{ll}
U\hat{P}(f)U^{-1} & \textrm{ha $U$ unit\'er} \\
U\hat{P}(f^{*})U^{-1} & \textrm{ha $U$ antiunit\'er}
\end{array}\right.
$$
\end{prop}
\begin{proof}
Ha $U$ unit\'er, $E\in B(T)$, akkor $\mu_{x,y}^{UPU^{-1}}(E)=\langle x,UP(E)U^{-1}y\rangle=\langle P(E)U^{-1}x,U^{-1}y\rangle=\mu_{U^{-1}x,U{-1}y}^{P}(E)$,
a k\'et oldal \'ertelmez\'esi tartom\'anya pedig $\{x|\textrm{$|f|^{2}$ $\mu_{x,x}^{UPU^{-1}}$-integr\'alhat\'o}\}$ \'es $\{x|\textrm{$|f|^{2}$ $\mu_{U^{-1}x,U^{-1}x}^{P}$-integr\'alhat\'o}\}$.

Ha pedig $U$ antiunit\'er, $E\in B(T)$, akkor $\mu_{x,y}^{UPU^{-1}}(E)=\langle x,UP(E)U^{-1}y\rangle=\langle P(E)U^{-1}y,U^{-1}x\rangle=\mu_{U^{-1}y,U{-1}x}^{P}(E)$,
a megfelel\H o \'ertelmez\'esi tartom\'anyok pedig $\{x|\textrm{$|f|^{2}$ $\mu_{x,x}^{UPU^{-1}}$-integr\'alhat\'o}\}$ \'es $\{x|\textrm{$|f^{*}|^{2}$ $\mu_{U^{-1}x,U^{-1}x}^{P}$-integr\'alhat\'o}\}$.
\end{proof}

\begin{defn}
Legyen $\cH$ Hilber-t\'er, $B:\cH\to\cH$ korl\'atos, $A:\cH\to\cH$ tetsz\H oleges
line\'aris oper\'ator. $A$ \'es $B$ \df{felcser\'elhet\H o}, ha $AB\supset BA$.

Legyen tov\'abb\'a $T$ topologikus t\'er, $P, Q:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek. $P$ \'es $B$ \df{felcser\'elhet\H o}, ha $B$ felcser\'elhet\H o
$P$ \'ert\'ekk\'eszlet\'enek minden elem\'evel. $P$ \'es $Q$ \df{felcser\'elhet\H o}
projektorm\'ert\'ekek, ha $P$ \'ert\'ekk\'eszlet\'enek minden eleme felcser\'elhet\H o
$Q$ \'ert\'ekk\'eszlet\'enek minden elem\'evel.
\end{defn}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, $B:\cH\to\cH$ korl\'atos line\'aris oper\'ator.
Ekkor $P$ pontosan akkor cser\'elhet\H o fel $B$-vel, ha
$\forall x,y\in\cH: \mu_{x,By}=\mu_{B^{*}x,y}$.
\end{prop}
\begin{proof}
Ha $P$ felcser\'elhet\H o $B$-vel, akkor tetsz\H oleges $E\in B(T)$-re
$\mu_{x,By}(E)=\langle x,P(E)By\rangle=\langle B^{*}x,P(E)y\rangle=\mu_{B^{*}x,y}(E)$.
Megford\'itva, ha $\forall x,y\in\cH: \mu_{x,By}=\mu_{B^{*}x,y}$, akkor viszont
$\langle x,P(E)By\rangle=\mu_{x,By}(E)=\mu_{B^{*}x,y}(E)=\langle B^{*}x,P(E)y\rangle=\langle x,BP(E)y\rangle$,
teh\'at $P(E)B=BP(E)$.
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, $B:\cH\to\cH$ korl\'atos line\'aris oper\'ator.
Ekkor $B$ pontosan akkor cser\'elhet\H o fel $P$-vel, ha b\'armely
$f:B(T)\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'enyre $B$ felcser\'elhet\H o
$\hat{P}(f)$-fel.
\end{prop}
\begin{proof}
Ha $B$ felcser\'elhet\H o $P$-vel \'es $x\in\Dom\hat{P}(f)$, akkor $|f|^{2}$
$\mu_{x,x}$-integr\'al\-ha\-t\'o, ekkor viszont $\mu_{Bx,Bx}\le\|B\|^{2}\mu_{x,x}$
miatt $|f|^{2}$ $\mu_{Bx,Bx}$-integr\'alhat\'o, azaz $Bx\in\Dom\hat{P}(f)$.
Ilyen $x$-ekre \'es b\'armely $y\in\cH$-ra
$\langle y,\hat{P}(f)Bx\rangle=\int f d\mu_{y,Bx}=\langle B^{*}y,\hat{P}(f)x\rangle=\langle y,B\hat{P}(f)x\rangle$.

Ha viszont $B$ b\'armely $f:B(T)\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'enyre
felcser\'elhet\H o $\hat{P}(f)$-fel, speci\'alisan $E\in B(T)$ eset\'en
$P(E)=\hat{P}(1_{E})$-vel is.
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $P,Q:B(\mathbb{C})\to Pr(\cH)$ kompakt tart\'oj\'u
projektorm\'ert\'ekek, a tart\'ojuk uni\'oja $\sigma$.
Ha $\hat{P}(id_{\mathbb{C}})=\hat{Q}(id_{\mathbb{C}})$, akkor $P=Q$.
\end{prop}
\begin{proof}
$\hat{P}(1)=\hat{Q}=id_{\cH}$,
$\hat{P}(id_{\mathbb{C}}^{*})=\hat{P}(id_{\mathbb{C}})^{*}=\hat{Q}(id_{\mathbb{C}})^{*}=\hat{Q}(id_{\mathbb{C}}^{*})$
folytonosak, emiatt $\hat{P}$ \'es $\hat{Q}$ egyenl\H ok az $\{1,id_{\mathbb{C}},id_{\mathbb{C}}^{*}\}$
\'altal gener\'alt *-algebr\'an, ami s\H ur\H u $C(\sigma)$-ban. Ennek a s\H ur\H u
halmaznak a $p$ elemeire $\hat{P}(p)=\hat{Q}(p)$ miatt tetsz\H oleges $x,y\in\cH$
eset\'en $\int_{T}p d\mu_{x,y}^{P}=\int_{T}p d\mu_{x,y}^{Q}$, amib\H ol Riesz
t\'etele szerint $\mu_{x,y}^{P}=\mu_{x,y}^{Q}$ k\"ovetkezik, azaz $P=Q$.
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $P:B(\mathbb{C})\to Pr(\cH)$ kompakt tart\'oj\'u
projektorm\'ert\'ek, $B:\cH\to\cH$ korl\'atos line\'aris oper\'ator.
Ekkor $B$ pontosan akkor cser\'elhet\H o fel $P$-vel, ha felcser\'elhet\H o
$\hat{P}(id_{\mathbb{C}})$-vel \'es $\hat{P}(id_{\mathbb{C}}^{*})$-gal.
\end{prop}

\begin{rem}
Az el\H oz\H o \'all\'it\'asok a kompakts\'agi felt\'etel n\'elk\"ul is \'erv\'enyben maradnak.
\end{rem}

\begin{defn}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $x\in\cH$, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek. Ekkor a $\{P(E)x|E\in B(T)\}$ halmaz \'altal gener\'alt
z\'art line\'aris alteret az $x$ \'altal $P$-vl gener\'alt \df{ciklikus alt\'er}nek
nevezz\"uk, jele $\cH(x)$. $P$ \df{ciklikus}, ha
$\exists x\in\cH:\{P(E)x|E\in B(T)\}^{\perp}=0$. Ekkor $x$ \df{ciklikus vektor}.
\end{defn}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek. Ekkor $\cH$ felbonthat\'o $P$ szerinti ciklikus alterek
direkt \"osszeg\'ere.
\end{prop}

\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $x\in\cH$, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek. Ekkor az $L^{2}(T,\mu_{x,x})\to\cH(x); f\mapsto\hat{P}(f)x$
lek\'epez\'es unit\'er.
\end{prop}
\begin{proof}
$(f+g)\mapsto\hat{P}(f+g)x=\hat{P}(f)x+\hat{P}(g)x$ \'es
$(\alpha f)\mapsto\hat{P}(\alpha f)x=\alpha\hat{P}(f)x$ miatt
a lek\'epez\'es line\'aris, $\|f\|^{2}=\int_{T}|f|^{2}d\mu_{x,x}=\|\hat{P}(f)x\|^{2}$
miatt izometria, \'es $1_{E}\mapsto P(E)x$ miatt az \'ert\'ekk\'eszlet\'eben
van s\H ur\H u alt\'er, teh\'at sz\"urjekt\'iv is.
\end{proof}

\begin{cor}
Ha $\cH$ Hilbert-t\'er, $x\in\cH$, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektorm\'ert\'ek, akkor l\'etezik $U:\cH(x)\to L^{2}(T,\mu_{x,x})$ unit\'er
lek\'epez\'es.
\end{cor}

Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $T$ topologikus t\'er, $P:B(T)\to Pr(\cH)$
projektor\-m\'er\-t\'ek, \'es $\cH=\bigoplus_{n}\cH(x_{n})\simeq\bigoplus_{n}L^{2}(T,\mu_{x_{n},x_{n}})$
a Hilbert-t\'er ciklikus alterek direkt \"osszegek\'ent val\'o el\H o\'all\'it\'asa.
Ekkor teh\'at $\cH$ elemei olyan f\"uggv\'enyekb\H ol \'all\'o $(\varphi_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
sorozatok, amelyek norman\'egyzeteinek \"osszege konvergens, teh\'at amelyekre
$\|(\varphi_{1},\varphi_{2},\ldots)\|^{2}=\|\varphi_{1}\|_{\mu_{x_{1},x_{1}}}^{2}+\|\varphi_{2}\|_{\mu_{x_{2},x_{2}}}^{2}+\ldots<\infty$.
Legyen $A_{n}=\Supp\mu_{x_{n},x_{n}}$ ($n\in\mathbb{N}$), \'es jel\"olje
$B_{k}$ $T$ azon elemeinek halmaz\'at, amelyek pontosan $k$ db tart\'oban
vannak benne ($k=1,2,\ldots,\infty$).

Legyen $\mu:=\sum_{n\in\mathbb{N}}2^{-n}\mu_{x_{n},x_{n}}$ \'es $\mu_{x_{n},x_{n}}=\varrho_{n}\cdot\mu$.
Legyen tov\'abb\'a $\psi_{1}:B_{1}\to\mathbb{C};\psi_{1}=\sum_{n\in\mathbb{N}}\sqrt{\varrho_{n}}\varphi_{n}|_{B_{1}}$,
$$
\psi_{2}:B_{2}\to\mathbb{C}^{2};\psi_{2}=\sum_{n<m\in\mathbb{N}}\left[\begin{array}{c}
\sqrt{\varrho_{n}}\varphi_{n}|_{B_{2}} \\
\sqrt{\varrho_{m}}\varphi_{m}|_{B_{2}}
\end{array}\right]
$$
\'es hasonl\'oan $n\in\{1,\ldots,\infty\}$-re. Ezzel megadtunk egy
$\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}L^{2}(\mu_{x_{n},x_{n}})\to\bigoplus_{n\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}}L^{2}(\mu,\mathbb{C}^n)$
lek\'epz\'est $(\varphi_{1},\ldots)\mapsto(\psi_{1},\ldots,\psi_{\infty})$ m\'odon.

A projektorm\'ert\'ek pontosan akkor ciklikus, ha az $A_{i}$-k diszjunktak,
\'es ekkor $\bigoplus_{n\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}}L^{2}(\mu,\mathbb{C}^n)=L^{2}(\mu,\mathbb{C})$.
Legyen $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny, $\cK$ Hilbert-t\'er,
$\mu$ pedig \s-v\'eges m\'ert\'ek. Ekkor bevezethetj\"uk az $M_{f}$
szorz\'asoper\'atort a k\"ovetkez\H o m\'odon:
$\Dom(M_{f}):=\{\varphi\in L^{2}(\mu,\cK)|f\varphi\in L^{2}(\mu,\cK)\}$ $M_{f}\varphi:=f\varphi$.
Ezzel defini\'aljuk a $K:B(T)\to Pr(L^{2}(\mu,\cK))$ $K(E):=M_{1_{E}}$
projektorm\'ert\'eket.

\begin{prop}
Az \'igy defini\'alt $K$ pontosan akkor ciklikus, ha $\dim\cK=1$.
\end{prop}

\begin{prop}
Ha $P:B(T)\to Pr(\cH)$ ciklikus projektorm\'ert\'ek, $x\in\cH$ ciklikus vektor,
$U:\cH(x)\to L^{2}(\mu_{x,x})$ a fenti unit\'er lek\'epz\'es, akkor $U P(E) U^{-1}=M_{1_{E}}$
$P$-t a karakterisztikus projektorm\'ert\'ekbe viszi.
\end{prop}
\begin{proof}
Legyen $f\in L^{2}(\mu_{x,x})$. Ekkor $UP(E)U^{-1}f=U\hat{P}(1_{E}f)x=1_{E}f$
\end{proof}

\begin{prop}
Legyen $P:B(T)\to Pr(\cH)$ ciklikus projektorm\'ert\'ek, $A:\cH\to\cH$ korl\'atos
line\'aris oper\'ator. Ekkor $A$ \'es $P$ pontosan akkor felcser\'elhet\H o, ha
$\exists f:A=\hat{P}(f)$.
\end{prop}
\begin{proof}
Ha $A$ felcser\'elhet\H o $P$-vel, akkor $\cH=\cH(x)$ alapj\'an
$\exists f:Ax=\hat{P}(f)x$. $E\in B(T)$-re
$A P(E)x=P(E)Ax=P(E)\hat{P}(f)x=\hat{P}(f)P(E)x$, \'es $\{P(E)x|E\in B(T)\}$
gener\'alja $\cH$ egy s\H ur\H u alter\'et.
\end{proof}

\begin{thm}
Ha $N:\cH\to\cH$ norm\'alis oper\'ator, akkor l\'etezik egy\'ertelm\H uen egy
$P:B(\mathbb{C})\to\Pr(\cH)$ projektorm\'ert\'ek, amelyre $N=\hat{P}(id_{\mathbb{C}})$
\end{thm}
Speci\'alisan ha $N=(s)\sum_{n}\lambda_{n}P_{n}$, ahol a $P_{n}$-ek ortogon\'alis
projektorok, akkor $P(E):=(s)\sum_{n,\lambda_{n}\in E}P_{n}$.

\begin{prop}
Ha a $P_{1}:B(T_{1})\to\Pr(\cH)$ \'es $P_{2}:B(T_{2})\to\Pr(\cH)$ projektorm\'ert\'ekek
felcser\'elhet\H ok, akkor $P:B(T_{1}\times T_{2})\to\Pr(\cH)$ $E_{1}\times E_{2}\mapsto P_{1}(E_{1})P_{2}(E_{2})$
projektorm\'ert\'ek.
\end{prop}

\begin{prop}
Legyen $\cH=L^{2}(\mu,\cK)$, $f:T\to\mathbb{C}$ m\'erhet\H o f\"uggv\'eny,
$M_{f}:L^{2}(\mu,\cK)\to L^{2}(\mu,\cK)$ $\varphi\mapsto f\varphi$. Vezess\"uk
be a $K:B(T)\to\Pr(\cH)$ projektorm\'ert\'eket, \'es a
$\mu_{\varphi,\psi}^{\cK}(E):=\langle\varphi,K(E)\psi\rangle=\int_{T}\langle\varphi,1_{E}\psi\rangle d\mu=\int_{T}1_{E}d(\langle\varphi,\psi\rangle_{\cK})$
m\'ert\'ekeket. Ekkor $\hat{K}(f)=M_{f}$.
\end{prop}
\begin{proof}
$\Dom\hat{K}(f)=\{\varphi\in\cH|\int f^{2}d\mu_{\varphi,\varphi}^{\cK}<\infty\}$, ami
$d\mu_{\varphi,\varphi}^{\cK}=\|\varphi\|^{2}d\mu$ miatt megegyezik a jobb oldal
\'ertelmez\'esi tartom\'any\'aval, \'es ott
$\langle\varphi,K(f)\psi\rangle=\int fd\mu^{\cK}_{\varphi,\psi}=\int f\langle\varphi,\psi\rangle_{\cK}d\mu=\int\langle\varphi,f\psi\rangle_{\cK}d\mu$.
\end{proof}

Ha $H$ \"onadjung\'alt oper\'ator, akkor a $[-\tau,\tau]\ni t\mapsto U_{t}:=e^{itH}$
lek\'epz\'es (lok\'alis) homomorfizmus, azaz $U_{t+s}=U_{t}U_{s}$, a k\'ep
unit\'er csoport. Ennek megford\'it\'as\'ar\'ol sz\'ol Stone t\'etele:
\begin{thm}
Ha a $[-\tau,\tau]t\mapsto U_{t}$ unit\'er \'ert\'ek\H u lek\'epz\'es $(s)$-folytonos
\'es $s,t,s+t\in[-\tau,\tau]$ eset\'en $U_{t+s}=U_{t}U_{s}$, akkor l\'etezik pontosan
egy $H$ \"onadjung\'alt oper\'ator, amire $U_{t}=e^{itH}$ ($t\in[-\tau,\tau]$).
\end{thm}

\begin{prop}
Legyen $U_{t}=e^{itH}$ valamilyen \"onadjung\'alt $H:\cH\to\cH$ oper\'atorra. Ekkor
\begin{enumerate}[(1)]
\item
$$
\exists lim_{t\to 0}\frac{U_{t}-id_{\cH}}{t}x\iff x\in\Dom H
$$
\'es ekkor a hat\'ar\'ert\'ek $iHx$.
\item
$$
x\in\Dom H\Rightarrow\frac{dU_{t}x}{dt}=iHU_{t}
$$
\item $HU_{t}\supset U_{t}H$
\item Minden $B:\cH\to\cH$ line\'aris oper\'atorra $BH\subset HB\iff BU_{t}=U_{t}B$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(1)]
\item
Ha $x\in\Dom H$, akkor
$$
\left\|\left(\frac{U_{t}-id_{\cH}}{t}-iH\right)x\right|^{2}=\int_{\mathbb{R}}\left|\frac{e^{it\xi}-1}{t}-i\xi\right|^{2}d\mu_{x,x}(\xi)
$$
Az integrandus
$$
\left|i\xi\left(\frac{\sin\frac{t\xi}{2}}{\frac{t\xi}{2}}e^{i\frac{t\xi}{2}}-1\right)\right|^{2}=\xi^{2}\left(\left(\frac{\sin\frac{t\xi}{2}}{\frac{t\xi}{2}}\right)^{2}-2\frac{\sin\frac{t\xi}{2}}{\frac{t\xi}{2}}+1\right)\le\alpha\xi^{2}
$$
b\'armilyen pozit\'iv $\alpha$-ra, \'es van integr\'alhat\'o major\'ansa.
Ha viszont
$$
\exists\lim_{t\to 0}\left\|\frac{U_{t}-id_{\cH}}{t}x\right\|^{2}=\lim_{t\to 0}\int\left|\frac{e^{it\xi}-1}{t}\right|^{2}d\mu_{x,x}(\xi)
$$
akkor az integrandus $\xi^{2}$-hez tart, \'igy a Fatou-lemma szerint igaz az \'all\'it\'as.
\item \'es \item
$$
\lim_{s\to t}\frac{U_{s}-U_{t}}{s-t}=\lim_{s\to t}\frac{U_{s-t}-id_{\cH}}{s-t}U_{t}x=\lim_{s\to t}U_{t}\frac{U_{s-t}-id_{\cH}}{s-t}x
$$
\item
$BH\subset HB\iff$ $B$ felcser\'elhet\H o P-vel $\iff \forall f:B\hat{P}(f)\subset\hat{P}(f)B$.
\end{enumerate}
\end{proof}

Ha $T=\mathbb{R}$, akkor a $P:B(T)\to\Pr(\cH)$ projektorm\'ert\'ek val\'os mutat\'ot
(val\'osz\'in\H us\'egi v\'altoz\'ot) \'ir le, amit megfeleltethet\"unk a $\hat{P}(id_{\mathbb{R}})$
\"onadjung\'alt ope\-r\'a\-tor\-nak. K\'et ilyen $A=\hat{P}(id_{\mathbb{R}})$ \'es $B=\hat{Q}(id_{\mathbb{R}})$
mutat\'o pontosan akkor kompatibilis, ha $P$ \'es $Q$ felcser\'elhet\H ok. Ilyenkor
$AB-BA\subset 0$, de a ford\'itott ir\'any\'u k\"ovetkeztet\'es nem igaz.
\begin{defn}
A $V:\cH\to\cH$ line\'aris lek\'epz\'es \df{parci\'alis izometria}, ha van egy
$D_{V}\subseteq\cH$ z\'art line\'aris alt\'er, hogy
$$
\|Vx\|
=
\left\{\begin{array}{ll}
\|x\| & x\in D_{V} \\
0 & x\perp D_{V}
\end{array}\right.
$$
\end{defn}
\begin{prop}
Legyen $V:\cH\to\cH$ parci\'alis izometria, ekkor $V^{*}V$ $D_{V}$ projektora,
$VV^{*}$ pedig $\Ran V$ projektora.
\end{prop}
\begin{proof}
Legyen $P$ $D_{V}$ projektora, $Q$ pedig $\Ran V$ projektora. Ekkor $VP=V$, $QV=V$ \'es
$\langle x,V^{*}Vy\rangle=\langle Vx,Vy\rangle=\langle VPx,VPy\rangle=\langle Px,Py\rangle=\langle x,Py\rangle$.
\end{proof}
Korl\'atos oper\'atorok pol\'aris felbont\'as\'ar\'ol sz\'ol a k\"ovetkez\H o
\'all\'it\'as:
\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $A:\cH\to\cH$ korl\'atos line\'aris oper\'ator.
Ekkor $\exists T\ge 0$ \"onadjung\'alt oper\'ator, \'es $V$ parci\'alis
izometria, amelyre $A=VT$. Ezt nevezz\"uk az $A$ oper\'ator \df{pol\'aris felbont\'as}\'anak.
\end{prop}
\begin{proof}
Legyen $T:=\sqrt{A^{*}A}$ \'es
$$
V()
:=
\left\{\begin{array}{ll}
Ay & x=Ty \\
0 & x\in(\Ran T)^{\perp}
\end{array}\right.
$$
Az \'igy megadott $V$ j\'ol defini\'alt, hiszen
$(Tx=Ty\Rightarrow Ax=Ay)\iff (Tx=0\Rightarrow Ax=0)$ \'es $\|Tx\|^{2}=\|Ax\|^{2}$.
\end{proof}
\begin{defn}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er. $K:\cH\to\cH$ \df{kompakt oper\'ator}, ha
korl\'atos halmazt relat\'iv kompaktba k\'epez.
\end{defn}
Kompakt oper\'ator spektruma diszkr\'et, torl\'od\'asi pont legfeljebb a $0$
lehet. A korl\'atos oper\'atorok *-algebr\'aj\'aban a kompakt oper\'atorok
*-ide\'alt alkotnak.

Legyen $K=VT$ egy kompakt oper\'ator pol\'aris felbont\'asa, $T=\hat{P}(id_{\mathbb{C}})$.
A megfelel\H o projektorm\'ert\'ek:
$$
P(E)=(s)\sum_{\substack{n\in\mathbb{N} \\ \lambda_{n}\in E}}P_{n}
$$
\'es \'igy
$$
T=(s)\sum_{\substack{n\in\mathbb{N} \\ \lambda_{n}\in E}}\lambda_{n}P_{n}
$$
Mivel T kompakt, az ut\'obbi \"osszeg norm\'aban is konverg\'al.
Jel\"olje $\Ran P_{n}$ egy ortonorm\'alt b\'azis\'at $\{e_{n}^{k}\}_{k=1}^{m_{n}}$,
$P_{n}=(s)\sum_{k=1}^{m_{n}}P_{n,k}$. A saj\'at\'ert\'ekeket, \'es a b\'aziselemeket
\'atsz\'amozva $T=(s)\sum_{m}\lambda_{m}P_{e_{m}}$. Legyen $v_{m}:=Ve_{m}$, ezzel
$$
K=(s)\sum_{m}\lambda_{m}|v_{m}\rangle\langle e_{m}|\quad\textrm{adjung\'altja pedig}\quad K^{*}=(s)\sum_{m}\lambda_{m}|e_{m}\rangle\langle v_{m}|
$$

\begin{defn}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $K:\cH\to\cH$ kompakt line\'aris oper\'ator,
saj\'at\'ert\'ekei a fenti m\'odon \'atsz\'amozva (azaz multiplicit\'assal)
$\lambda_{n}$ ($n\in\mathbb{N}$). Ekkor $K$ \df{magoper\'ator}, ha $\sum_{n}\lambda_{n}<\infty$.
$K$ \df{nyomoper\'ator}, ha tetsz\H oleges $(x_{i})_{i\in I}$ ortonorm\'alt b\'azis
eset\'en $\exists\Tr(K)=\sum_{i\in I}\langle x_{i}.Kx_{i}\rangle$ \'es az \"osszeg
f\"uggetlen a b\'azis v\'alaszt\'as\'at\'ol.
\end{defn}
\begin{prop}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $K=\sum_{n}\lambda_{n}|v_{n}\rangle\langle e_{n}|:\cH\to\cH$
magoper\'ator, $A:\cH\to\cH$ korl\'atos line\'aris oper\'ator. Ekkor $AK$ \'es
$KA$ nyomoper\'ator, \'es
$$
\Tr(AK)=\Tr(KA)=\sum_{n}\lambda_{n}\langle e_{n},Ae_{n}\rangle
$$
\end{prop}
\begin{proof}
Az $AK=\sum_{n}\lambda_{n}|Av_{n}\rangle\langle e_{n}|$ el\H o\'all\'it\'as
felhaszn\'al\'as\'aval ad\'odik, hogy
$\sum_{i}\langle x_{i},AKx_{i}\rangle=\sum_{i}\sum_{n}\lambda_{n}\langle x_{i},Av_{n}\rangle\langle e_{n},x_{i}\rangle=\sum_{n}\lambda_{n}\sum_{i}\langle x_{i},Av_{n}\rangle\langle e{n},x_{i}\rangle=\sum_{n}\lambda_{n}\langle e_{n},Av_{n}\rangle$
mert $|\langle x_{i},Av_{n}\rangle\langle e_{n},x_{i}\rangle\le\|A\|$ miatt az
\"osszeg abszol\'ut konvergens.
\end{proof}
\begin{cor}
Minden magoper\'ator nyomoper\'ator.
\end{cor}
\begin{rem}
Az ut\'obbi kijelent\'es megford\'it\'asa is igaz.
\end{rem}

Ha $e\in\cH$ egys\'egvektor, akkor $|e\rangle\langle e|$ vet\'it $\mathbb{C}e$-re,
a $P\mapsto\Tr(P|e\rangle\langle e|)=\langle e,Pe\rangle=\|Pe\|^{2}\in[0,1]$
lek\'epz\'es t\"orv\'eny, mert $P_{1}\perp P_{2}\Rightarrow P_{1}\vee P_{2}=P_{1}+P_{2}$
\'es ilyenkor $\|(P_{1}+P_{2})e\|^{2}=\|P_{1}e\|^{2}+\|P_{2}e\|^{2}$.
Legyen $W:=(s)\sum_{n\in\mathbb{N}}\lambda_{n}|e_{n}\rangle\langle e_{n}|\ge 0$
magoper\'ator, $\sum_{n\in\mathbb{N}}\lambda_{n}=1$, $\{e_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$
ortonorm\'altak. Ekkor a $P\mapsto\Tr(PW)=\sum_{n\in\mathbb{N}}\lambda_{n}\langle e_{n},Pe_{n}\rangle$
lek\'epz\'es t\"orv\'enyek \s-konvex kombin\'aci\'oja, teh\'at maga is t\"orv\'eny.
Teh\'at minden pozit\'iv \"onadjung\'alt 1 nyom\'u magoper\'ator egy t\"orv\'enyt
hat\'aroz meg. Ennek megford\'it\'as\'ar\'ol sz\'ol Gleason t\'etele:
\begin{thm}
Legyen $\cH$ Hilbert-t\'er, $\dim\cH\neq 2$. Ekkor minden $Pr(\cH)\to[0,1]$
t\"orv\'eny $P\mapsto\Tr(PW)$ alak\'u, ahol $W$ 1 nyom\'u pozit\'iv
\"onadjung\'alt oper\'ator (\df{Gleason-oper\'ator}).
\end{thm}
Ha van egy $A=\hat{P}(id_{\mathbb{R}})$ \"onadjung\'alt oper\'atorunk,
\'es egy $W=\sum_{n}\lambda_{n}|e_{n}\rangle\langle e_{n}|$ 1 nyom\'u
pozit\'iv oper\'atorunk, akkor azok megadnak egy $u:B(\mathbb{R})\to Pr(\cH)$
val\'os mutat\'ot \'es egy $p:Pr(\cH)\to[0,1]$ t\"orv\'enyt. A mutat\'o
eloszl\'asa $p\circ u$:
$$
E\mapsto\Tr(P(E)W)=\sum_{n}\lambda_{n}\underbrace{\langle e_{n},P(E)e_{n}\rangle}_{\|P(E)e_{n}\|^{2}}=\sum_{n}\lambda_{n}\mu_{e_{n},e_{n}}(E)
$$
A val\'osz\'in\H us\'egi v\'altoz\'o momentumai pedig:
\begin{eqnarray*}
\eta^{(m)}_{W}(A)
 & = & \int_{\mathbb{R}}id_{\mathbb{R}}^{m}d(\sum_{n}\lambda_{n}\mu_{e_{n},e_{n}}) \\
 & = & \sum_{n}\lambda_{n}\int_{\mathbb{R}}id_{\mathbb{R}}^{m}d\mu_{e_{n},e_{n}} \\
 & = & \sum_{n}\lambda_{n}\langle e_{n},\hat{P}(id_{\mathbb{R}}^{m})e_{n}\rangle \\
 & = & \sum_{n}\lambda_{n}\langle e_{n},A^{m}e_{n}\rangle \\
 & = & \Tr(A^{m}W)
\end{eqnarray*}
Speci\'alisan $Ae=\lambda e$, $W=|e\rangle\langle e|$ eset\'en $\eta^{(m)}_{W}(A)=\lambda^{m}$.
Sz\'or\'asok szorzat\'ara ad als\'o korl\'atot a Heisenberg-f\'ele
hat\'arozatlans\'agi rel\'aci\'o:
\begin{prop}
Legyenek $A,B,C:\cH\to\cH$ \"onadjung\'alt oper\'atorok, $\mathcal{D}\subset\Dom A\cap\Dom B\cap\Dom C$
s\H ur\H u alt\'er, amelyre $A\mathcal{D}\cup B\mathcal{D}\cup C\mathcal{D}\subset\mathcal{D}$,
$AB-BA\big|_{\mathcal{D}}=iC\big|_{\mathcal{D}}$, $W=\sum_{n}\lambda_{n}|e_{n}\rangle\langle e_{n}|$
egy t\"orv\'eny Gleason-oper\'atora. Ekkor $\sigma_{W}(A)\sigma_{W}(B)\ge\frac{1}{2}|\eta_{W}(C)|$
\end{prop}
\begin{proof}
Legyen $\hat{A}:=A-\eta_{W}(A)id_{\cH}$ \'es $\hat{B}:=B-\eta_{W}(B)id_{\cH}$,
ekkor $\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\big|_{\mathcal{D}}=iC\big|_{\mathcal{D}}$
\'es $\eta_{W}(\hat{A})=\eta_{W}(\hat{B})=0$.
Minden $\lambda\in\mathbb{R}$ sz\'amra $T_{\lambda}:=\hat{A}+i\lambda B$
s\H ur\H un \'ertelmezett, $T_{\lambda}^{*}\supset \hat{A}-i\lambda B$.
$$
\langle e_{n},T_{\lambda}^{*}T_{\lambda}e_{n}\rangle=\|T_{\lambda}e_{n}\|^{2}=\|\hat{A}e_{n}\|^{2}+\lambda^{2}\|\hat{B}e_{n}\|^{2}+\underbrace{\langle \hat{A}e_{n},i\lambda \hat{B}e_{n}\rangle+\langle i\lambda \hat{B}e_{n},\hat{A}e_{n}\rangle}_{\lambda i\left[\langle e_{n},\hat{A}\hat{B}e_{n}\rangle-\langle e_{n},\hat{B}\hat{A}e_{n}\rangle\right]}
$$
alapj\'an
\begin{eqnarray*}
\Tr(T_{\lambda}^{*}T_{\lambda}W)
 & = & \sum_{n}\lambda_{n}\langle e_{n},T_{\lambda}^{*}T_{\lambda}e_{n}\rangle \\
 & = & \sum_{n}\lambda_{n}\left(\|\hat{A}e_{n}\|^{2}-\lambda\langle e_{n},Ce_{n}\rangle+\lambda^{2}\|\hat{B}e_{n}\|^{2}\right)\ge 0
\end{eqnarray*}
minden $\lambda$-ra, teh\'at a fenti m\'asodfok\'u polinom diszkrimin\'ansa legfeljebb 0:
$$
\eta_{W}(A)-4\sigma_{W}(A)^{2}\sigma_{W}(B)^{2}\le 0
$$
\end{proof}
Speci\'alisan $C=id_{\cH}$ eset\'en a t\"orv\'enyt\H ol f\"uggetlen als\'o
korl\'atot kapunk.

Legyen $W=(u)\sum_{n}\lambda_{n}|e_{n}\rangle\langle e_{n}|$ egy t\"orv\'eny Gleason-oper\'atora, 
$p_{W}(P):=\Tr(PW)=\sum_{n}\lambda_{n}\langle e_{n},Pe_{n}\rangle=\sum_{n}\lambda_{n}\Tr(P|e_{n}\rangle\langle e_{n}|)=\sum_{n}\lambda_{n}p_{|e_{n}\rangle\langle e_{n}|}(P)$.
Ha $W$-ben t\"obb tag van, akkor nem sz\'els\H os\'eges, ha csak 1 tag, akkor
sz\'els\H os\'eges. Ekkor $W$ projektor, az ilyen \'allapotok a tiszta \'allapotok.
$\dim\cH\ge 2$ eset\'en nincs sz\'or\'asmentes t\"orv\'eny, mert az csak
$W=|e\rangle\langle e|$ alak\'u (sz\'els\H os\'eges) lehetne, de $\exists x\in\cH:\|x\|=1$
\'es $0<|\langle e,x\rangle|<1$ \'es $\Tr(|e\rangle\langle e||x\rangle\langle x|)=|\langle e,x\rangle|^{2}$.
A klasszikus val\'osz\'in\H us\'egelm\'eletben ugyanaz a sz\'or\'asmentes, a
sz\'els\H os\'eges \'es a Dirac-f\'ele t\"orv\'eny, emiatt van egy term\'eszetes
megfeleltet\'es az elemi esem\'enyek \'es a sz\'els\H os\'eges t\"orv\'enyek
k\"ozt. A kvantumos esetben nincs sz\'or\'asmentes t\"orv\'eny, de itt is van
term\'eszetes megfeleltet\'es az elemi esem\'enyek \'es a sz\'els\H os\'eges
t\"orv\'enyek k\"ozt.
\newpage
\printindex

\end{document}