Holográfia a kvantumtérelméletben: AdS/CFT dualitás

A ma ismert világunknak négy  építőköve van: az u,d kvarkok, az elektron és az elektron neutrinó. Az u és d kvarkok alkotják például az atommagok összetevőit: a protonokat (uud)  és a neutronokat (udd). Ezen részecskéken túl a gyorsítókban bármelyik részecske anti-részecske párját is elő tudjuk állítani,  sőt az említett (u,d,elektron,elektron neutrino) négyes még két másolatát is (c,s,muon,muon neutrino) és (t,b,tau,tau neutrino), habár ők nem vesznek részt anyagi világunk megformálásában. Az elemi részecskék és kölcsönhatás periódusos rendszere

Az elemi építőköveket a négy alapvető (erős, gyenge, elektromágneses és gravitációs) kölcsönhatás ragasztja össze. Az u és d kvarkot az erős  kölcsönhatás forrasztja egybe protonná és neutronná, majd ennek 'kilógó' része felelős a magerőért, mely az atommagokat tartja egyben. A magok körül az elektromágneses kölcsönhatás stabilizálja az elektronokat ezzel létrehozva a periódusos rendszer összes elemét. A neutronok csak az atommagok belsejében lehetnek stabilak, bomlásukért a gyenge kölcsönhatást okolhatjuk. Végül a gravitációs kölcsönhatás, mely atomi léptékekben elhanyagolható az előbbi kölcsönhatások mellett, nagy távolságok esetén válik jelentőssé, hiszen -lévén mindig vonzó- nem árnyékolódik le, hatása összeadódik.
 
Az atomi méretű objektumok mozgásának leírására a szokásos mechanika nem alkalmas, annak  kvantumos változatát kell használnunk. A kvantum elmélet a relativitás elmélettel összekapcsolva kinyészeríti, hogy a kölcsönhatásokat részecskék kicserélődéseként írjuk le. Az elektromágneses kölcsönhatás részecskéje a foton, az erős kölcsönhatásé a gluonok, míg a gyenge kölcsönhatásé a W és Z bozonok. Az gravitációs kölcsönhatás kvantumos leírása a mai napig várat magára, mely korunk egyik nagy kihívása.  

A kvantumelektrodinamika, mely az elektronok és fotonok kölcsönhatását írja le igen nagy pontosságú egyezést mutat a kisérletekkel. Ez azzal kapcsolatos, hogy az elektronok és fotonok kölcsönhatási erőssége egy viszonylag kicsi szám: egy század nagyságrendű, vagyis  a két foton kicserélődéséből jövő járulákok már csak egy tizezred nagyságrendűek,  nem is beszélve a több foton cserével járó folyamatokról. Az erős kölcsönhatás kvantumos változata a kvantumszíndinamika, mely a kvarkok és gluonok kölcsönhatását írja el.  Ebben az esetben a kvarkok és gluonok színcsatolási állandója egységnyi nagyságrendű, így például a protontömeg számolásánál az összes gluon kicserélődéséból származó járulékokat fel kell összegeznünk. Ez jelen tudásunk szerint megoldatlan feladat. Fontosságát jól jellemzi, hogy a Clay matematikai intézet egymillió dolláros jutalmat tűzött ki a probléma részleges megoldásáért is. (Yang-Mills Theory ).

 
hyperbolic spaceKorunk e két megoldatlan problámájában, a gravitáció kvantumelméletében és az erős kölcsönhatás kvantitatív leírásában az előrelépést  Maldacena 1997-es sejtése jelentette. Szerinte ugyanis egy ötdimenziós térbeli gravitációs elmélet ekvivalens lehet egy, az ötdimenziós tér négydimenziós határán definiált  gluonikus elmélettel. Pontosabban,  ha vesszük az ötdimenziós állandó negatív görbületű anti de Sitter (AdS) tér és egy öt dimenziós gömb szorzatán a  gravitációs kölcsönhatást is magában foglaló húrelméletet  az lesz ekvivalens az AdS tér négy  dimenziós peremén levő maximálisan szuperszimmetrikus konform gluonikus elmélettel.  (A negatív görbületű végtelen kétdimenziós  AdS teret az ábrán látható módon torzítva leképezhetjük egy egységnyi körlapra. Az AdS tér pereme ekkor a körlap szélén realizálódik.)  A négydimenziós elmélet egyike a legegyszerűbb színkölcsönhatásoknak, a gluonok mellett van még nyolc típusú kvark és hat típusú skalár részecske. (A skalár részecske olyan mint a Higgs bozon, melyet a részecskefizika standard modellje megjósolt, és  az LHC-re vár a feladat, hogy megtalálja.) A húrelmélet egy olyan konzisztens egyesített elmélet, mely mind az anyagi részecskéket, mind pedig a kölcsönhatási részecskéket piciny húroknak képzeli el és természetszerűleg tartalmazza a (szuper) gravitációt is.


 ábra a dualitás szemléltetésére

Elviekben Maldacena ötlete nem különbözik a holográfiától, aholis a háromdimenziós tárgyak olyan képeit rögzíthetjük a  kétdimenziós peremen lévő hologrammon, melyből azok térbeli helyzete rekonstruálható. Az információ tehát mindkét leírásban teljes értékű, csak amíg a peremen a dinamikát a színek kölcsönhatása adja, addig a tömbben a gravitációs erőt kell használni. Ezt szemlélteti Maldacena Scientific American-ben megjelent ismeretterjesztő cikkének (The Illusion of Gravity) borítója. A kép szerint a három dimenziós zsonglőr és labdáinak mozgása a gravitációs térben ekvivalens módón leírható a három dimenziós tér két dimenziós határan kialakuló színes árnyék színkölcsönhatásával.

Maldacena sejtését még azért nem sikerült bizonyítani, mert a kétféle leírás duális. Ez azt jelenti, hogy  amikor a színkölcsönhatások gyengék, mint például a  kvantumelektrodinamikában és így pontosan meg tudjuk oldani az elméletet, akkor a gravitáció (húrelmélet) erősen kvantumos, melynek megbízható leírása általában reménytelen feladat. Ha viszont a gravitáció klasszikus, és könnyen kiszámolható, akkor a színkölcsönhatások erősek, mint a kvantumszíndinamikában és a probléma ismét megoldhatatlan.  Ezen dualitás viszont mutatja a sejtés erejét is. Ha ugyanis a sejtést ellenőriztük, lehetőséget kapunk egyrészt az erősen kölcsönható színkölcsönhatások leírására az ötdimenziós klasszikus gravitáció által, másrészt a kvantumos gravitációt is megérthetjük egy gyengén kölcsönható gluonikus elmélet segítségével.




A kutató csoportban a sejtés alátámasztását tűztük ki célul. Olyan mennyiséget szerettünk volna találni, mely mindkét megközelítésben egzaktul számolható. Az erős kölcsönhatást leíró kvantumszíndinamikában a kvarkoknak három színük van, a Maldacena sejtés viszont nyitva hagyja a színek számát. Naivan azt gondolhatnánk, hogy a számolások a színek számának növelésével bonyolultabbak lesznek, mégsem ez a helyzet. A színek számát végtelen nagynak véve ugyanis a modell az egzaktul megoldható modellek osztályába tartozik. Ez nem azt jelenti, hogy minden egzaktul ismert, hanem, hogy elméletileg minden egzaktul kiszámítható. Nekünk sikerült olyan mennyiségeket találnunk, melyeket a kvantumos gravitáció oldaláról ki tudtunk  számolni és melyeket egzakt gyengén kölcsönható  színszámolással lehetett összehasonlítani. Az általunk tapasztalt egyezés minden eddiginél meggyőzőbben támasztotta alá Maldacena sejtését.