Kollégáink, Tóth Géza és Pitrik József "Quantum Wasserstein distance based on an optimization over separable states" című közös cikke megjelent a Quantum folyóiratban (D1-es, impact factor 6.777).
A valószínűségszámításban és a statisztikában valószínűségi mértékek vagy valószínűségsűrűség-függvények távolságának definiálása központi szerepet játszik. Sok hagyományos távolság definíció azonban nem jellemzi hatékonyan két sűrűségfüggvény eltérőségét. Például, ha két valószínűségsűrűség-függvény, p (x) és q(x) diszjunkt tartójú, azaz, p(x)=0 minden olyan esetben amikor q(x)>0, a szokásos távolságoknál p(x) és q(x) távolsága maximális, függetlenül attól, hogy p és q tartója milyen messze vannak egymástól. Legyen pl. p(x) egy olyan függvény ami csak 0<x<1 esetén nem nulla, míg q(x) csak 10<x<11 esetén nem nulla. A távolság ugyanúgy maximális lesz, mint ha q(x) csak 100<x<101 esetén lenne nem nulla. Ezt a jelenséget úgy szokás kifejezni, hogy p és q távolsága érzéketlen az alul fekvő metrikára. A problémát orvosolja az optimális transzportelméletben definiált ún. Wasserstein-távolság, melynek alapötlete a következő példával szemléltethető. Tegyük fel, hogy van 1 egységnyi homokdombunk, amelyet a p(x) sűrűségfüggvény ír le. Ezt a homokdombot szeretnénk átszállítani egy másik helyre, ezt a már átszállított homokdombot jellemezzük a q(x) sűrűséggel. A szállítást egy költségfüggvénnyel jellemezzük, ami természetesen függ a két homokdomb távolságától, vagyis az alul fekvő metrikától. A Wasserstein-távolság lényegében annak az összköltsége, hogy mennyibe kerül a p(x) eloszlású homokdomb átszállítása q(x) eloszlásúba. A Wasserstein-távolság többféleképpen definiálható kvantumos esetre. Ezek közül az egyik lehetőség, mikor egy operátor várható értéket minimalizálnak adott marginálisú kétrészű kvantum-állapotokon. Egy meglepő tulajdonsága az ún. kvantum Wasserstein-2 távolságnak, hogy az öntávolság, tehát egy kvantumállapot távolsága önmagától lehet nem nulla. A De Palma és Trevisan által definiált mennyiség esetében az öntávolság négyzete egyenlő a Wigner-Yanase skew információval. Tóth Géza és Pitrik József megmutatta, hogy ha az optimalizációt a szeparálható állapotok halmazára korlátozzuk, akkor egy új és érdekes mennyiséget kapunk. A közlemény megvizsgálta a mennyiség tulajdonságait, és az összefonódottság-elmélethez fűződő kapcsolatát. Bebizonyították, hogy ha egy helyi operátort használunk a költségoperátor definíciójához, akkor az öntávolság négyzete arányos a kvantum Fisher információval, amely központi szerepet játszik a kvantum-metrológiában.
A cikk elérhetősége:
Quantum 7, 1143 (2023).: https://quantum-journal.org/papers/q-2023-10-16-1143/
